疲劳失效是工程结构失效的主要模式之一。目前结构疲劳试验仍是确定结构疲劳寿命的主要方法。但疲劳试验耗时长、成本高，而且必须对其载荷谱浓缩简化，小载荷删除就是最常见的简化载荷谱方法之一。

然而，如何删除小载荷目前还没有定论。通常采用的小载荷取舍方法有2种：(1) 按载荷-时间历程中最大载荷幅值的百分比舍去小载荷。明平顺等人^[1]提出若不考虑极端值的影响，允许删去最大记录幅值的8%~12%。Gipson^[2]认为载荷幅值若小于最大载荷的12.5%可以删除。Carss^[2]删除了1.75σ(σ为载荷正态分布标准差) 应力级，节省了试验谱87%的时间。鲍蕊等^[3-4]对铝合金2324-T39和7050-T7451试件在运输机谱下裂纹扩展的低载删除水平进行研究，认为删除水平为最大过载的11.72%或13.98%时较为合理。(2) 按材料疲劳极限的百分比舍去小载荷。大量试验结果表明，低于材料疲劳极限50%的小载荷对试样的损伤可以不计^[5]；有学者也提出过舍去疲劳极限或疲劳极限0.5~0.7倍以下的小载荷^[6]。Heuler等^[7]基于部分载荷谱的试验结果将50%的条件疲劳极限 (10⁷次循环) 作为小载荷的取舍标准。de Jonge等^[8]对2024-T3板缺口件在TWIST谱和Mini-TWIST谱下进行疲劳试验，结果显示舍去部分小载荷 (81%疲劳极限) 使得裂纹形成寿命变为原来的2.4倍。文献[9]对45钢试验件进行疲劳试验，发现低于疲劳极限的小载荷对损伤没有贡献，可以直接舍去。

这些方法通过相应的试验验证，虽然对疲劳谱寿命影响较小，但往往过于保守，依然耗费较多试验时间，更重要的是，这些方法并没有从删除原理入手。现有的删除标准建立在确定性疲劳分析的基础上，以疲劳极限或其他载荷的百分比为界将应力循环分为“损伤”或“非损伤”循环，不同构件的载荷谱工作环境不同，小载荷对零件的疲劳损伤贡献程度不同，所以删除标准也不该相同^[10]。现有方法忽略了结构的疲劳性能具有随机性，应力循环引起的疲劳损伤是一个“不确定性”的量。因此疲劳寿命是一个随机变量，合理的删除方法应当保证删除谱与原始谱的疲劳寿命分布相同或者差异不大。本文考虑了疲劳性能的随机性，以删除谱和原始谱的疲劳寿命同分布为评价标准进行小载荷删除。

1 小载荷删除

传统的载荷谱删除方法都基于经验，且都基于确定性思想进行疲劳损伤计算。而实际上从工程使用的安全角度来说，载荷和损伤都具有随机性，仅仅考虑均值并不符合可靠性设计要求，也与实际损伤情况差异较大。

对于工程常见的缺口件，顺序效应等一系列过载效应不容忽视，随机加载情况下也必然造成低载损伤的差异，此外，试件的材料特性、工作环境以及几何特性等也有相应的分散性^[11]。为了描述疲劳寿命的分散性，往往使用p-S-N曲线，见图 1。

载荷删除的主要依据应该是疲劳极限S_e。给定寿命下的疲劳强度都有一定分散性，用f_S(s) 来表示，f_S(S_e) 则表达了疲劳极限的分散性。在高周疲劳阶段，p-S-N曲线可以近似用3参数方程来表示，即

${N_{cp}}{\left( {S - {S_{0p}}} \right)^{{H_p}}} = {C_p}$

(1)

式中H_p和C_p为材料常数。此处S_0p即为p-S-N曲线右延的趋势线的极限，可以认为S_0p以下的载荷不造成损伤。

结构所受到的载荷通常用载荷频率曲线S-n表示，见图 2。设疲劳损伤为D，在可靠度p给定的情况下，只有S(n₁) 大于S_0p的情况下才会造成损伤，即

$P\left( {D\left( {{n_1}} \right)} \right) = P\left( {S\left( {{n_1}} \right) > {S_{{0_p}}}} \right)$

(2)

以上分析主要是针对单次载荷循环，体现了部分小载荷造成损伤的概率性质。对于随机谱，删除谱和原谱相比，单次循环造成损伤的概率差异会导致全谱疲劳寿命分布的差异，表现为寿命均值与分散性的差异。考虑载荷谱删除前后疲劳寿命分布差异性的度量，本文使用概率距离来对低载删除前后寿命均值和分散性进行综合描述。主要思想如下：对于原始载荷谱，指定一个删除水平S_omit，删除S_a≤S_omit的小载荷，若删除谱与原谱的疲劳寿命分布一致，则认为该删除水平合理。

设原始谱的疲劳寿命分布为F，删除掉S_a≤S_omit的小载荷之后，疲劳寿命分布为G，若原始谱作用下的疲劳寿命F分布与删除小载荷后的疲劳寿命G相同，则删除小载荷对疲劳寿命无影响。通常，删除谱会与原始谱有微小差异，这里可以认为若式 (3) 成立

$L\left( {F\left\| G \right.} \right) \le \delta $

(3)

则认为F和G同分布。式中，L(F‖G) 为概率距离，描述相同事件空间内的两个概率分布的差异情况; δ为容限值，反映了两个分布的差异程度。

2 小载荷删除方法 2.1 基于KL距离的小载荷删除

由于材料性能、几何尺寸和外载过程等的随机性，疲劳寿命是一个随机变量，可以采用概率分布来描述。概率距离是对两个分布相似性的度量。假设原始谱和删除谱的疲劳寿命均服从一种概率分布，根据概率距离的相似度，就可以判断所取删除水平是否合理。本文选取在统计学中的应用最为广泛的KL距离。设两个随机变量的分布密度函数为f(x) 和g(x)，则KL距离的定义为

${L_{{\rm{KL}}}}\left( {F\left\| G \right.} \right) = \int {f\left( x \right)\ln \frac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}}{\rm{d}}x} $

(4)

KL距离越大，则两个概率密度函数的差别也越大；反之，其差别越小。两者完全相同时，L_KL(F‖G)=0。因此，可以采用KL距离来定量描述删除谱和原始谱分布的差异程度。

对数正态分布是常用的寿命分布形式之一，假设原始谱和删除谱的疲劳寿命均服从对数正态分布，对式 (4) 进行积分，L_KL(F|G) 可写为^[12]

${L_{{\rm{KL}}}}\left( {F\left\| G \right.} \right) = \frac{1}{2}\left[{\ln \frac{{{\gamma ^2}}}{{{\sigma ^2}}} + \frac{{{\sigma ^2}}}{{{\gamma ^2}}}-1 + \frac{{{{\left( {\mu-\nu } \right)}^2}}}{{{\gamma ^2}}}} \right]$

(5)

式中：μ和σ为f的对数均值和对数标准差；ν和γ为g的对数均值和对数标准差。寿命分布参数可以通过疲劳可靠性分析求得。

2.2 疲劳寿命分布计算

疲劳寿命的分散性可以用相应载荷水平下p-S-N曲线来描述，综合运用损伤累积准则和结构p-S-N曲线进行疲劳可靠性分析。根据二维概率Miner准则^[13]，可求得在二维随机应力时间历程作用下给定可靠度时结构的疲劳寿命。

$ {T_p}\sum\limits_i {\sum\limits_j {\frac{{{n_{ij}}}}{{{N_{cp}}\left( {{S_{ai}}, {S_{mj}}} \right.}} = 1, {N_{vp}} = {T_p}} } \sum\limits_i {\sum\limits_j {{n_{ij}}} } $

(6)

${{N}_{vp}}\iint\limits_{Q}{\frac{l\left( {{S}_{a}}, {{S}_{m}} \right)}{{{N}_{cp}}\left( {{S}_{a}}, {{S}_{m}} \right)}\text{d}{{S}_{a}}}\text{d}{{S}_{m}}=1$

(7)

式中：n_ij为各级载荷的作用次数；S_ai和S_mj为载荷幅值和均值；T_p为可靠度p下结构破坏时的块谱数；N_cp为可靠度p下的常幅寿命；N_vp为可靠度p下结构破坏时的载荷循环数；l(S_a, S_m) 为二维应力分布密度函数。二维概率Miner准则的优点在于只要知道结构的疲劳性能和所承受的变幅疲劳载荷谱，即可进行相应的疲劳可靠性分析，但是对于载荷次序的影响，则无能为力。对于承受随机载荷时间历程的结构，载荷的次序效应不明显^[14]，可以不考虑。本文采用二维概率Miner准则对结构进行疲劳可靠性分析，计算原始谱和删除谱的寿命分布参数。

假设载荷谱的应力分布密度函数为l(S)，根据二维概率Miner准则，原始谱和删除谱在任意可靠度p下的疲劳寿命为

$\begin{array}{l} {N_{vp\_{\rm{ori}}}} = \frac{1}{{\int_0^\infty {\frac{{l\left( S \right)}}{{{N_{cp}}\left( S \right)}}{\rm{d}}S} }}\\ {N_{vp\_{\rm{tra}}}} = \frac{1}{{\int_{{S_{{\rm{omit}}}}}^\infty {\frac{{l\left( S \right)}}{{{N_{cp}}\left( S \right)}}{\rm{d}}S} }} \end{array}$

(8)

式中N_{vp_ori}和N_{vp_tra}分别为原始谱和删除谱在可靠度p下的疲劳寿命。N_cp(S) 根据可靠度p下的p-S-N曲线得到，结构的p-S-N曲线采用式 (1) 三参数模型描述。

假设F和G服从对数正态分布，则式 (5) 中，各分布参数近似计算如下

$\begin{array}{l} \mu = \lg {N_{v50\_{\rm{ori}}}}\\ \nu = {{\mathop{\rm lgN}\nolimits} _{v50\_{\rm{tra}}}}\\ \sigma = \frac{1}{{{u_p}}}\left[{\mu-\lg {N_{vp\_{\rm{ori}}}}} \right]\\ \gamma = \frac{1}{{{u_p}}}\left[{v-\lg {N_{vp\_{\rm{tra}}}}} \right] \end{array}$

(9)

式中u_p为给定可靠度p下的标准正态偏量。

2.3 载荷删除水平计算

将式 (9) 代入式 (5) 得

$\begin{array}{l} {L_{{\rm{KL}}}}\left( {F\left\| G \right.} \right) = \\ \frac{1}{2}\left\{ {\ln {{\left( {\frac{{v - \lg {N_{vp\_{\rm{tra}}}}}}{{\sigma {u_p}}}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{\sigma {u_p}}}{{v - \lg {N_{vp\_{\rm{tra}}}}}}} \right)}^2} - } \right.\\ \left. {1 + u_p^2{{\left( {\frac{{\mu - \theta }}{{v - \lg {N_{vp\_{\rm{tra}}}}}}} \right)}^2}} \right\} \end{array}$

(10)

当可靠度p、应力分布密度函数为l(S) 和结构的p-S-N曲线给定时，仅为关于删除水平S_omit的函数。将式 (10) 代入式 (3)，求解不等式，即可得到S_omit的取值。式 (10) 的形式较为复杂，无法直接求出S_omit的解析表达式，需要采用数值方法计算。

2.4 KL距离容限选取

式 (3) 中容限值，由于KL距离随着删除水平的增加而变大，则δ取值越小，原始谱寿命与删除谱寿命分布差异就越小，然而相应的删除水平也会越小，故而应该寻找一个平衡点，在原谱与删除谱寿命分布差异足够小的情况下尽可能多地删除小载荷。文献[15]的相关试验表明δ取10^-3时较为适宜。

3 算例及试验验证 3.1 材料与试件

试验件材料为LC4CS (7A04T6) 铝合金，试验件为如图 3所示，边切口试件，应力集中系数为4，试件来自厚度为2.5 mm的板材，纵向取样。LC4CS超硬铝合金的力学性能列于表 1。

3.2 拟合缺口件p-S-N曲线

同种材料的结构元件在相同工作环境下服役时，缺口件除了受到与光滑件相同的内部组织结构分散性和外部工作状况分散性的影响，还受到缺口的应力集中效应和尺寸效应随机因素影响。这使得缺口件和光滑件的疲劳强度分散性既有内在联系又有外在差异。目前获得缺口件疲劳强度分散性的方法主要有试验法^[16]和随机有限元法^[17]。基于时间和经费的考虑，试验法多不被采用；由于随机变量的选取和离散需要大量的基础数据，目前还无法用随机有限元较好地处理缺口件的疲劳强度分散性问题。本文将影响缺口件疲劳强度分布的因素分为光滑件的分散性和缺口效应的分散性两部分, 只需要材料p-S-N曲线和缺口件几何信息。文献[18]采用改进的相等破坏概率法求出光滑件的疲劳强度分布，由应力场强法和历史数据获得疲劳缺口系数分布，由此获得缺口件疲劳强度分布，从而得到缺口件p-S-N曲线。缺口件p-S-N曲线的拟合流程如图 4所示。

王长江^[15]通过对平均应力210 MPa下光滑件进行成组法和升降法试验，并使用双加权最小二乘法^[19]，拟合得到了在该应力水平下的p-S-N曲线，见表 2。本文选取平均应力80 MPa进行缺口件试验，使用文献[18]中的方法，最终得到表 3的结果。

3.3 载荷谱试验

原始谱是基于应力谱超越数曲线, 即

${S_a} = - 14.3\lg {E_0} + 79.8$

(11)

使用Twist编谱法编制的飞续飞谱，单块谱包括1 800次飞行，每个谱循环数为10^{5.580 4}次。平均应力水平为80 MPa。根据式 (11) 中原始谱的应力超越数曲线可得幅值应力S_a的分布密度函数为

$l\left( {{S_a}} \right) = \left\{ \begin{array}{l} - 2.3026 \times {10^{ - 0.0699{S_a}}}\;\;{S_a} \ge 0\\ 0\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{S_a} < 0 \end{array} \right.$

(12)

对于地空地循环，取地面应力S_g=0 MPa，载荷峰值为114 MPa。每次飞行1次，在删除小载荷的过程中，地空地循环保持不变。根据二维概率Miner准则得到不同置信度时疲劳谱的寿命，利用概率纸法检验其分布类型是否满足对数正态分布，结果发现原始载荷谱的寿命 (以地空地循环数为计) 可以用对数正态分布来表示。对于本算例，μ=4.150 5，σ=0.104 2。采用相同方法计算不同删除水平下删除谱的疲劳寿命分布参数ν和γ，根据式 (10) 计算KL距离，见图 5。由图 5可见KL距离是关于删除水平S_omit的单调递增函数，从曲线上查找对应于容限值δ的S_omit值，即为所求的删除水平。

容限值为删除小载荷时所能容忍的删除谱与原谱寿命分布的最大差异，通常为一个小量，在工程实践中根据具体要求选取。分别取δ为0.000 1, 0.000 2, 0.001, 0.002和0.003，对应的删除水平如表 4所示。

删除水平S_omit的取值在满足原始谱与删除谱同分布的情况下，原则上尽量取较大的删除水平，这样才能达到压缩试验时间的目的。根据2.4节分析，本文取容限值0.001时删除水平S_omit为15.4 MPa的删除谱对小载荷删除方法进行试验验证，记为L2。为了进行对比分析，额外选取了4个删除水平，分别为9.2，12，19，24 MPa，得到的载荷谱记为L0，L1，L3，L4。对5种删除谱编制飞-续-飞试验谱进行疲劳试验。

疲劳试验在MTS 370电液伺服疲劳试验机上进行，试验频率10 Hz，试验件为图 3中的LC4CS边切口试件，对载荷谱L0~L4进行疲劳试验，共完成5组删除谱30件边切口试件试验，将试件断裂时的块谱数记为裂纹形成寿命，5个删除谱的疲劳试验结果见表 5。删除水平S_omit为15.4 MPa的L2谱，每个谱块的载荷循环数为31 878次循环，约为原谱的8.4%。

图 6给出了不同删除水平下裂纹形成寿命的变化趋势，可以看出，删除水平减小到15.4 MPa以后，疲劳寿命变化不大，因此可以将L0谱的试验结果作为原始谱的疲劳寿命。

采用T检验法对不同载荷谱下的裂纹形成寿命的均值进行检验，判断L1~L4谱的对数寿命均值是否与L0谱差异较大，采用F检验法对不同载荷谱下的裂纹形成寿命的标准差进行检验，判断L1~L4谱的对数寿命标准差是否与L0谱差异较大^[20]。T统计量和F统计量的计算值如表 6所示。取显著性水平α=0.05，针对不同的样本容量，T统计量和F统计量的临界值列于表 6右侧。将表 6中各统计量的计算值与临界值进行对比，可以看出：

(1) 对于载荷谱L1~L2，有T_α/2 < T < T_1-α/2，L1谱和L2谱的对数寿命均值与L0谱相比，没有显著差别；

(2) 对于载荷谱L3~L4，T > T_1-α/2，L3谱和L4谱的对数寿命均值与L0谱相比，差别较大；

(3) 对于载荷谱L1~L2，有F_α/2 < F < F_1-α/2，L1谱和L2谱的对数寿命标准差与L0谱相比没有变化；

(4) 对于载荷谱L3~L4，F>F_1-α/2，L3谱和L4谱的对数寿命标准差与L0谱相比，差别较大。

由此可得出结论：L1谱和L2谱的疲劳寿命与L0谱同分布，说明计算得到的删除水平合理。

4 结论

(1) 引入随机变量描述疲劳寿命，以删除谱与原谱的疲劳寿命同分布作为小载荷删除标准。该方法考虑了疲劳性能的随机性，客观反映真实载荷历程。

(2) 运用概率距离定量描述删除谱与原始谱疲劳寿命分布差异。

(3) 试验验证本文的小载荷删除方法计算得到的删除谱与原始谱同分布，载荷循环数仅为原谱的8.4%，压缩了疲劳试验时间。