基于Berkovich压痕应变能量密度的钢材断裂韧性评价方法

宗源，王谦之; Zong Yuan; Wang Qianzhi

2025年4月7日 19:18 星期一

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摘要

为改善压痕法测试断裂韧性过程中测量标准不同和精度不足的问题，基于临界压痕能量（Critical indentation energy， CIE）法，提出了基于Berkovich压痕应变能量密度（Strain energy density， SED）评估钢材断裂韧性的方法。同时考虑弹性和塑性能量并修正临界总压深，评价了9种钢材的韧性。结果表明，发现仅考虑塑性能量所测量韧性的相对误差在5%~20%，而本文同时考虑弹性和塑性能量所测量韧性的相对误差在5%以内。同时，确定临界总压深的拟合范围需要避开材料近表面弹性模量上升的区域，改善了基于CIE法使用Berkovich压头评估钢材断裂韧性的精确度。

关键词

断裂韧性; 应变能量密度; 压痕; 钢材表面; 测试

随着航空业的发展，对于各部件的性能需求越来越高。这些部件的工作环境较为恶劣，经常面临高温、高压、高速等极端条件，尤其是涡轮叶片、传动轴、齿轮等重要的零部件在工作时都需要承受复杂且较高的交变应力^［

1］，如果这些材料的断裂韧性不足，则容易产生疲劳裂纹，裂纹的扩展延伸引起零件损坏，从而导致飞行器的失效，这不仅会对飞行器的飞行安全构成威胁，还会导致高昂的维修和更换成本。因此，准确测量材料的断裂韧性是确保零件可靠性的关键因素^{［参考文献 2

百度学术}2］，对于推动航空工程的发展和进步也具有重要作用。目前，人们提出了各种方法来测量韧性。传统方法包括紧凑拉伸（Compact tension， CT）试验、三点弯曲试验和夏比冲击试验，用来评估材料的断裂韧性^{［参考文献 3⁃4}3⁃4］。然而，传统方法需要制备标准样品，耗时耗力。而压痕测试作为一种评估机械性能的常用方法，已成为测量断裂韧性的一种可行方法，因为其测试过程简单快捷，无须制备标准样品^{［参考文献 5⁃6}5⁃6］。

目前已有许多学者基于压痕法提出了一些方法用来评估材料的断裂韧性^［

7⁃9］。得益于棱柱体压头更锐利的尖部，在棱锥体压头测试中很容易使材料产生塑性变形，Berkovich等棱锥形压头得到了越来越广泛的引用。He等^{［参考文献 10

百度学术}10］将损伤力学引入压痕测试中确定临界塑性压深，从而基于临界压痕能量（Critical indentation energy， CIE）方法通过Berkovich压痕试验计算了材料的断裂韧性。但是计算过程中，He等只考虑了塑性变形所吸收的塑性能量。而Lee等^{［参考文献 11

百度学术}11］最初使用球形压头提出CIE方法时是需要同时考虑弹性能量和塑性能量的。因此，He等在使用Berkovich压痕试验时，只考虑塑性能量计算材料断裂韧性是不全面的，因此其结果与传统方法计算的值存在较大的误差。更为重要的是，应用CIE方法计算材料断裂韧性时需要通过拟合lnE和lnh的线性关系确定临界总压深。但是，弹性模量E随着压深h的变化并不是单调递减的，弹性模量E在材料近表面会有一段增加趋势。如图1（a）所示，316不锈钢压深为200 nm时的弹性模量E高于深度为100 nm时的弹性模量，是由于材料表面的尺寸效应，当压深超过400 nm后，弹性模量降低趋势趋于平缓，表明材料表面尺寸效应不明显。因此，选取不同的压深拟合区间拟合lnE和lnh的线性关系，会得到不同的拟合结果，如图1（b）所示，且使用500~5 000 nm范围内的数据进行lnE和lnh的拟合度为95.3%，优于使用100~5 000 nm范围的拟合度94.07%。这个结果会很大程度地影响最终材料断裂韧性的计算结果，将会在结果与讨论中进行对比。然而，文献［10‑11］的研究中均没有分析合适的压深拟合范围。

图1 316不锈钢弹性模量随压痕深度的变化和不同拟合范围的lnE和lnh的线性关系

Fig.1 Variation of elastic modulus E of 316 stainless steel as a function of indentation depth and fitting results of lnE and lnh with different ranges

因此，本文将基于CIE方法，应用Berkovich压痕试验，通过考虑压痕试验加载过程中的弹性能量和塑性能量来评估9种钢材的断裂韧性。同时分析了压深拟合范围对确定临界总压深的影响，给出建议压深拟合范围。为了证明测量结果的准确度，将本文与文献中传统方法的测量结果进行比较，并阐明内在原因。

1 试验方法与基本原理

1.1　样品处理及压痕测试

本文中选用9种常用钢材，其主要化学成分如表1所示。进行压痕测试前，样品经过抛光机（UNIPOL⁃820）进行抛光，使样品表面粗糙度约40 nm。随后，使用动态超显微硬度仪（DUH211S）在样品表面进行不同压深的压痕试验（100， 200，300，500，1 000，1 500，2 000，2 500，3 000，3 500，4 000，4 500和5 000 nm）。在每一个压深下，选取5个点进行压痕试验，载荷加载速率设定为5 mN/s。

表1 9种钢材的主要化学成分(重量百分比)

Table 1 Chemical compositions of nine steels （weight percentage） ( % )

钢材	C	Si	Mn	Mo	P	Cr	Ni	S	Cu	Fe
A36	0.20	0.35	0.30	─	0.045	─	─	0.045	─	余量
1020	0.20	0.35	0.30	─	0.04	0.25	0.25	0.05	0.25	余量
1045	0.45	0.17	0.60	─	0.05	0.25	0.25	0.05	0.25	余量
1065	0.65	0.37	0.50	─	0.035	0.25	0.30	0.035	0.25	余量
1095	0.95	─	0.40	─	0.04	─	─	0.05	─	余量
304L	0.08	1.00	2.00	─	0.045	19.00	8.00	0.03	─	余量
316	0.08	1.00	2.00	2.00	0.045	16.00	14.00	0.03	─	余量
440C	0.60	1.00	1.00	0.75	0.04	16.00	─	0.03	─	余量
G8Cr15	0.85	0.35	0.45	0.08	0.025	1.65	0.30	0.025	0.25	余量

1.2　确定临界总压深

通过不同的加载⁃卸载曲线，根据Oliver⁃Pharr理论计算出各材料在不同深度下的弹性模量^［

12］

E_{d} = \frac{1 - ν^{2}}{(\frac{1}{E_{r}} - \frac{1 - ν_{i}^{2}}{E_{i}})}

（1）

E_{r} = \frac{\sqrt[]{π}}{2} \cdot \frac{S}{\sqrt[]{A_{c}}}

（2）

式中E_r、E_i、ν、ν_i、A_c、S分别为被测材料减缩弹性模量、压头弹性模量、被测材料泊松比、压头泊松比、压痕接触深度下的投影面积和载荷⁃深度曲线中卸载斜率即卸载刚度。

根据连续损伤力学，Kachanov^［

13］引入如式（3）所示的损伤变量D。其中E表示在不同压深下的弹性模量，E_i表示未损伤时的初始弹性模量。一般而言，100 nm下的压痕对材料不造成损伤，因此，本文选取100 nm压深下的弹性模量作为E_i。

D = 1 - \frac{E}{E_{i}}

（3）

随着压深的增加，弹性模量E不断降低，当材料在临界压深发生损伤时，弹性模量E降至临界弹性模量E_c，损伤变量D达到临界值D_c。由于压痕载荷沿加载轴施加压应力，压痕下的变形区域承受压应力。因此，由于压应力的作用，孔隙将通过局部剪切成核。因此，临界损伤变量D_c可表示如下

D_{c} = \frac{π}{{(\frac{4}{3} π)}^{\frac{2}{3}}} f^{\frac{2}{3}}

（4）

式中f为材料的孔隙率。由于本文中的材料是弹塑性钢材，因此，孔隙率f可取为0.25^［

11］。根据式（4），临界损伤变量 D_c=0.48。再根据式（3）可求得与D_c相对应的临界弹性模量E_c。通过1.1节中不同压深h下获得的弹性模量E，拟合建立lnE和lnh的线性关系，从而根据临界弹性模量E_c确定本文中9种钢材的临界总压深

h_{t}^{*}

。本文中选取两段压深区间（100~5 000 nm和500~5 000 nm）进行拟合对比。

1.3　计算断裂韧性

He等^［

10］和Lee等^{［参考文献 11

百度学术}11］指出，压头下方产生的应力三轴性与裂纹尖端前方的应力三轴性相似，在裂纹尖端前方，有限的塑性变形受到周围弹性材料的约束。因此，He等将CIE方法从圆形压头应用到Berkovich压痕试验上，但是只用了塑性变形吸收的能量

G_{I E F}^{*}

作为断裂能，从而来计算材料的断裂韧性K_JC，如式（5， 6）所示。

G_{I E F}^{*} = \int_{0}^{h_{p}^{*}} P (h_{p}) d h_{p} = \int_{0}^{h_{p}^{*}} \frac{F (h_{p})}{A_{p} (h_{p})} d h_{p}

（5）

K_{J C} = \sqrt[]{2 E_{i} G_{I E F}^{*}}

（6）

式中：P（h_p）为压痕的塑性压力；F（h_p）和A_p（h_p）为施加的压痕载荷和塑性变形引起的压痕投影面积，均为塑性压深h_p的函数；h_p和 $h_{p}^{*}$ 分别为塑性压深和临界塑性压深。如前文中所述，CIE方法计算断裂韧性时需要同时考虑弹性能量和塑性能量，因此，式（5）中相应的塑性压深应该替换为相应的总压深，即式（5， 6）修正为式（7， 8）。

G_{c}^{*} = \int_{0}^{h_{t}^{*}} P (h) d h = \int_{0}^{h_{t}^{*}} \frac{F (h)}{A (h)} d h

（7）

K_{C} = \sqrt[]{2 E_{i} G_{c}^{*}}

（8）

式中： $h_{t}^{*}$ 表示临界总压深， $G_{c}^{*}$ 表示考虑弹性和塑性能量之和的总断裂能量。为了简化总断裂能量 $G_{c}^{*}$ 的计算过程，Sih等^［

14］提出了应变能量密度（Strain energy density， SED）的概念，即式（9）所示，经过转换可以得到式（10）。

S E D = \frac{d W}{d V} = \frac{d W}{d A} \cdot \frac{d A}{d V}

（9）

\frac{d W}{d A} = \frac{d W}{d V} \cdot \frac{d V}{d A} = S E D \cdot d h

（10）

式中：W为吸收功，V为体积。

将式（10）对发生断裂时的临界总压深 $h_{t}^{*}$ 进行积分，会发现积分的结果就是等于断裂总能量 $G_{c}^{*}$ 。

G_{c}^{*} = \int_{0}^{h_{t}^{*}} \frac{F (h)}{A (h)} d h = \int_{0}^{h_{t}^{*}} \frac{d W}{d A} = \int_{0}^{h_{t}^{*}} S E D \cdot d h

（11）

2 结果与讨论

2.1　钢材的应变能量密度

本文中使用的中心线与棱面夹角为65.03°的Berkovich压头，因而压头下方投影面积为^［

15］

A_{p} = 3 \sqrt[]{3} h^{2} t a n^{2} 65.03 ° = 23.96 h^{2}

（12）

根据式（9）中SED的定义，可以直接根据加载曲线计算出5 000 nm以内的SED随压深h变化的曲线。而从5 000 nm到临界总压深的SED必须根据拟合加载曲线来确定。加载力F是关于压痕深度h的二次函数，因此SED关于压深h的函数为

\begin{array}{l} S E D = \frac{d W}{d V} = \frac{d F}{d A} = \frac{A h^{2} + B h + C}{23.96 h^{2}} = \\ \frac{A}{23.96} + \frac{B}{23.96 h} + \frac{C}{23.96 h^{2}} \end{array}

（13）

通过对9种钢材的载荷⁃位移曲线进行二次函数拟合，从而得出SED与压痕深度h之间的关系，如图2所示为A36、1045、1065等9种钢材的SED曲线。

图2 9种钢材的SED随压深h的变化曲线

Fig.2 Variation of SED as a function of indentation depth h for steels

2.2　临界总压深 $h_{t}^{}$ 及断裂总能量 $G_{c}^{}$

如图3（a）所示为1045碳钢在不同压深下的加载卸载曲线。按照1.2节所述方法，可测量并计算获得1045碳钢的初始弹性模量E_i为352 GPa和临界弹性模量E_c为183 GPa。根据在不同压痕深度下获得的弹性模量E，可以建立1045碳钢的lnE与lnh之间的线性关系，如图3（b）所示，从而获得临界总压深 $h_{t}^{*}$ 为12.83 μm。

图3 1045碳钢在不同压深的加载-卸载曲线以及lnE与lnh间的线性关系

Fig.3 Load⁃unloading curves of 1045 carbon steel at different indentation depths and linear relationship between lnE and lnh

再根据式（11）计算出1045碳钢的断裂总能量 $G_{c}^{*}$ 为39.81 J/m²。根据同样的方法及步骤，其余8种钢材的初始弹性模量E_i、临界弹性模量E_c、临界总压痕 $h_{t}^{*}$ 以及断裂总能量 $G_{c}^{*}$ 均可获得，如表2所示。

表2 9种钢的初始弹性模量、临界弹性模量、临界总压深和压痕断裂能

Table 2 Initial elastic modulus, critical elastic modulus, critical total depth and indentation energy to fracture of nine steels

钢材	E_i/GPa	E_c/GPa	$h_{t}^{*} / μ m$	$G_{c}^{*}$ /（J·m^-2）
A36	279	145	11.96	21.16
1020	312	162	16.04	25.38
1045	352	183	12.83	39.81
1065	290	151	66.17	91.79
1095	332	173	15.83	41.71
304L	284	148	65.97	229.89
316	283	147	45.70	160.86
440C	335	174	14.90	42.87
G8Cr15	252	131	37.79	94.62

2.3　钢材的断裂韧性

根据式（5， 6），计算出9种钢材只考虑塑性能量的断裂韧性K_JC。同时，使用式（8， 11），计算出9种钢材同时考虑弹性和塑性能量的断裂韧性K_C。其中，使用100~5 000 nm的数据拟合lnE和lnh得到临界总压深计算的断裂韧性为K_C100，而使用500~5 000 nm的数据拟合lnE和lnh得到临界总压深计算的断裂韧性为K_C500，并列于表3中。表3中还列出了文献［

16⁃24］中应用传统方法测量的9种钢材的断裂韧性作为参考。由于文献中报道的钢材韧性值是以夏比冲击能K_V或J⁃积分（J_IC）的形式表示的，因此应将这些值转换为断裂韧性K_IC进行比较，如式（14， 15）所示。

表3 临界压痕能法、本研究中的修正方法和文献中获得的断裂韧性的比较

Table 3 Comparison of fracture toughness obtained by critical indentation energy method, the modified method in this study and literatures

钢材	K_IC/（MPa· $m^{\frac{1}{2}}$ ）	K_JC/ （MPa· $m^{\frac{1}{2}}$ ）	相对误差/ %	K_C100/ （MPa· $m^{\frac{1}{2}}$ ）	相对误差/ %	K_C500/ （MPa· $m^{\frac{1}{2}}$ ）	相对误差/ %
A36	80^{［参考文献 16 百度学术}16］	110.89	38.89	113.44	42.08	78.36	1.85
1020	94^{［参考文献 17 百度学术}17］	97.90	4.15	83.64	11.03	90.75	3.45
1045	127^{［参考文献 18 百度学术}18］	151.99	19.98	104.94	12.55	120.72	4.71
1065	166^{［参考文献 19 百度学术}19］	180.28	8.60	116.30	29.94	166.38	0.23
1095	125^{［参考文献 20 百度学术}20］	132.09	5.73	135.60	14.92	120.01	3.94
304L	264^{［参考文献 21 百度学术}21］	291.58	10.62	245.47	6.87	260.58	1.14
316	222^{［参考文献 22 百度学术}22］	242.32	8.04	185.13	16.62	217.59	2.00
440C	117^{［参考文献 23 百度学术}23］	137.80	18.18	150.48	29.06	122.21	4.81
G8Cr15	153^{［参考文献 24 百度学术}24］	167.59	9.68	177.01	15.69	157.47	2.92

{(\frac{K_{I C}}{σ_{y}})}^{2} = 0.64 (\frac{K_{V}}{σ_{y}} - 0.01)

（14）

K_{I C} = {(\frac{J_{I C} \cdot E}{1 - ν^{2}})}^{\frac{1}{2}}

（15）

式中：σ_y为抗拉强度，E和ν分别为弹性模量和泊松比。

如表3所示，只考虑塑性能量计算获得的K_JC与文献中所报道的K_IC的相对误差主要集中在5%~20%，这与文献［

10］中采用相同测试方法的测量结果误差值相似。当同时考虑弹性和塑性能量后计算获得的K_C500与文献中传统测试方法获得的K_IC相比，相对误差基本保持在5%以内，很大程度上提高了测量的准确性。同时，根据表3中的K_C100和K_C500发现，使用100~5 000 nm数据拟合得到临界总压深计算的断裂韧性K_C100的相对误差很大，有些甚至超过了K_JC的相对误差。

如上所述，本文中同时考虑弹性及塑性能量且选取合适拟合范围获得临界总压深计算的断裂韧性K_C500与表3中列出的已报道韧性数据K_IC非常接近。主要原因是当考虑弹性能量后，总能量与总体积增加率不同。例如A36钢，在压痕深度为5 μm且深度变化1 nm的区间内，塑性功dW_p和塑性体积dV_p的增量分别为9.56×10^-10 J和0.525 μm³，而总功dW和总体积dV的增量分别为9.80×10^-10 J和0.596 μm³。这说明考虑弹性能量后，总功和体积的增长率分别为2.51%和13.52%。因此，根据式（9）计算的SED会降低，从而导致断裂韧性值降低，更加接近已报道韧性数据K_IC。从另一个角度看， SED等于压头下方的压力P，表达式为

S E D = \frac{d W}{d V} = \frac{F d h}{A d h} = \frac{F}{A} = P

（16）

图4比较了塑性部分的塑性压力P_p和整体总压力P。可以发现，在考虑总能量时，压头下方的总压力P均低于仅考虑塑性能量时的塑性压力P_p，最大下降率可达49.1%。这从另一个角度也说明SED降低，则断裂韧性值也降低。

图4 9种钢的塑性压力和总压力比较

Fig.4 Comparison of plastic pressure and total pressure for nine kinds of steels

3 结　　论

基于CIE方法，应用Berkovich压痕试验，对确定临界压深时的弹性模量与压深的拟合范围进行了讨论，提出了一种考虑弹性能和塑性能的改进方法，并将其用于评估 9种钢的断裂韧性。结果得出以下结论：

（1）针对CIE法在Berkovich压头的运用上，没有考虑弹性功的问题，提出了修正的方法，通过同时考虑弹性功与塑性功对材料断裂韧性的影响，提出了修正方法计算出的断裂韧性K_C500与已报道的韧性K_IC，相对误差减小到5%。

（2）为减少材料表面附近弹性模量因尺寸效应对lnE与lnh拟合结果的影响，提高所确定临界压深的精确度，建议初始拟合深度应大于500 nm，或拟合深度应大于表面粗糙度的10倍。

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摘要

关键词

1 试验方法与基本原理

1.1 样品处理及压痕测试

1.2 确定临界总压深

1.3 计算断裂韧性

2 结果与讨论

2.1 钢材的应变能量密度

2.2 临界总压深ht*及断裂总能量Gc*

2.3 钢材的断裂韧性

3 结 论