基于改进蝴蝶优化算法的无人机3-D航迹规划方法

丁敏，夏兴宇，邹永杰，张乐，刘正堂; DING Min; XIA Xingyu; ZOU Yongjie; ZHANG Le; LIU Zhengtang

2025年6月22日 20:19 星期日

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基于改进蝴蝶优化算法的无人机3‑D航迹规划方法 PDF

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丁敏
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夏兴宇
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邹永杰
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张乐
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刘正堂

中国人民解放军63893部队，洛阳 471000

中图分类号： V279； V249

最近更新：2023-10-30

DOI：10.16356/j.1005-2615.2023.05.011

摘要

针对基本蝴蝶优化算法（Butterfly optimization algorithm，BOA）在进行无人机（Unmanned aerial vehicle， UAV）三维航迹规划时存在的搜索速度慢、搜索精度低以及易陷入局部最优等问题，提出一种改进的蝴蝶优化算法（Improved butterfly optimization algorithm，IBOA）。在全局搜索阶段提出对数自适应惯性权重策略和动态更新调节策略，提高了算法全局搜索能力和搜索精度。同时，在局部搜索阶段，提出一种动态概率余弦选择策略，增加位置更新多样性，避免陷入局部最优。首先，为检验改进算法与基本算法的寻优性能，在部分标准多元函数上进行仿真对比。对比结果表明，改进算法对复杂函数具有较强的寻优能力，能在更短时间内找到全局最优解。然后，在二维路径规划仿真中对比了改进算法与PSO算法性能，从对比结果看，IBOA具有更优的规划效果。接着，利用山峰模拟函数对UAV三维航迹规划进行建模，将改进算法应用到航迹规划中，利用MATLAB仿真对比了不同复杂度环境下的航迹规划效果。仿真实验表明：相同实验条件下，该优化算法较BOA综合适应度值减小21.9%，具有搜索速度快、搜索精度高等优点，能够有效地指导UAV在三维环境中完成自主导航避障任务。

关键词

无人机; 三维航迹规划; 改进蝴蝶优化算法; 自主导航

航迹规划是为运动物体从起点到终点找到一条避开各类威胁的最优飞行路径关键技术之一，可为复杂环境下的任务执行提供有效保障，被广泛应用于军民领域。如无人空中投递救灾物资、无人蜂群作战和无人空中探测等^［

1‑3］。无人机（Unmanned aerial vehicle， UAV）作战作为智能化战争的重要组成，在完成自主导航过程中，航迹规划显得至关重要，能否安全避开自然障碍物、雷达探测和火力等软硬杀伤威胁，对UAV战场生存能力起着决定性作用。

目前航迹规划方法多样，可分为诸如人工势场法、Dijkstra算法和A*算法等的传统经典算法和诸如遗传算法、粒子群算法和蚁群算法等的智能群体算法两大类。相较于经典算法，群智能算法具有规划速度快、收敛性好的特点，在UAV航迹规划和机器人路径规划中得到了广泛的应用。文献［

4］针对三维航迹规划问题，从局部和全局规划两方面出发，针对两种不同规划方法对搜素速度和精度的不同需求，提出一种改进粒子群优化（Particle swarm optimization， PSO）算法的UAV三维航迹规划方法，有效提高了规划效率，但存在集中式计算负担过大时规划有效性较低的问题。为解决经典粒子群算法在航迹规划中收敛速度慢、易陷入局部最优的问题，文献［5］借助指数惯性权重和柯西变异步长调整策略，提出一种改进的PSO算法，使基本粒子群算法性能得到了改善，但文中只给出了低复杂度的三维环境模型下的仿真结果，对于复杂环境没有给出实验分析，文献［6］在经典粒子群算法基础上，改进了状态转移函数和信息素更新规则，避免算法陷入局部最优，但没有解决搜索速度慢的问题。文献［7］采用几何优化方法增强蚂蚁搜索的引导性，将三维航迹规划进行了二维平面规划和高度规划的拆分，有效提高了规划能力，但容易出现个体迷失现象。文献［8］和文献［9］对蚁狮算法进行了相应改进，并运用到UAV三维航迹规划问题，通过与原算法对比，有效提高了局部规划能力，但全局搜索效果不佳。文献［10］通过引入航偏角，对基本蚁群的启发信息策略进行了调整，解决了算法存在停滞现象的问题，提出一种改进蚁群算法的UAV低空突防三维航迹规划方法，在7个山峰威胁情况下，迭代60次就收敛到最小值，相对于基本蚁群算法，速度提高了50%。

从上述关于航迹规划问题的近年文献来看，群体智能寻优算法在航迹规划中应用较多，尤其是粒子群算法及其改进算法、融合算法较多，但仍存在一些缺点，针对上述文献中所提方法的不足，提出一种基于改进蝴蝶优化算法（Improved butterfly optimization algorithm，IBOA）的UAV三维航迹规划方法。蝴蝶优化算法（Butterfly optimization algorithm，BOA）是将蝴蝶觅食行为进行抽象建模提出的一种新型群体智能搜索算法，具有良好的收敛速度和简单的数学表述，但是，目前在航迹规划中应用较少，其改进算法也较少，为了提高规划速度和精度，鉴于BOA算法的优良性能，将其应用于UAV航迹规划问题。

本文以基本BOA模型为基础，针对其缺点，提出对数自适应惯性权重调整策略、动态更新调节策略和动态概率余弦选择策略，并将3种策略应用到BOA的改进方案中，利用MATLAB仿真软件对所提IBOA算法和BOA算法模型进行了测试函数的性能对比验证，并将IBOA应用到UAV二维和三维航迹规划问题，仿真结果表明，IBOA所规划出来的航迹有效且可行，相比于BOA，规划效率更高。

1 模型构建

1.1　航迹规划问题

航迹规划是UAV完成某项任务的重要环节，任务完成情况与航迹规划优劣息息相关。进行规划的目的就是在众多的路径中找出一条避开障碍区且满足约束的最优或次优可行路径，如图1所示。

图1 UAV避障路径

Fig.1 UAV avoidance path

1.2　威胁空间模型

从上述航迹规划问题中可以看出，航迹规划时需要知道障碍物信息，将UAV面临的软硬杀伤等威胁均采用地形等效模拟，借鉴文献［

10］中的山峰模拟算法来模拟空间威胁，其数学模型为

z (x, y) = \sum_{k = 1}^{n} [h_{k} \times e x p (- {(\frac{x - x_{k}}{x_{s k}})}^{2} - {(\frac{y - y_{k}}{y_{s k}})}^{2})]

（1）

式中：n为山峰总个数；（x_k，y_k）代表第k个山峰的中心坐标；h_k为高度控制参数，控制威胁源的空间高度；x_s_k和y_s_k分别为第k个山峰沿x轴和y轴方向的衰减量，控制山峰坡度。

图2给出了n=15时，通过MATLAB随机生成的三维空间威胁模型，模型中的控制参数可根据需求进行设置。

图2 三维空间威胁模型

Fig.2 3-D spatial threat model

1.3　基本蝴蝶优化算法

蝴蝶觅食过程可描述为：每只蝴蝶在觅食过程中会产生并感应一定的香味浓度，并朝着区域内浓度更高的蝴蝶位置靠近，以此获得最佳食物。BOA即是对该过程进行数学建模并解决目标函数的最优化问题。每只蝴蝶产生的香味浓度数学模型可描述为

f_{i}^{t} = c {(I_{i m}^{t - 1})}^{α}

（2）

式中： $f_{i}^{t}$ 为第t次迭代过程中第i只蝴蝶产生的香味浓度；c为蝴蝶的感官模态因子；α 为蝴蝶幂指数； $(I_{i m}^{t - 1})$ 为第（t-1）次迭代过程中第i只蝴蝶在m个位置点（m≥1且m∈N⁺）产生的刺激强度，刺激强度与目标函数的适应度值等价，m为单只蝴蝶的位置点总个数。

BOA通过比较随机数r与开关转换概率P之间的大小关系来决定跳转方向，当r≥P（其中，P=（t/Maxiter）²）时，蝴蝶采取全局搜索行动，此时蝴蝶将向全局最优解移动，其数学模型可表述为

x_{i}^{t + 1} = x_{i}^{t} + (r^{2} \cdot g_{b e s t} - x_{i}^{t}) f_{i}^{t}

（3）

式中： $x_{i}^{t}$ 为当前迭代次数时第i只蝴蝶的位置向量；g_best为上次迭代中蝴蝶最优位置。

当r≤P时，蝴蝶将进行局部搜索，其数学模型可描述为

x_{i}^{t + 1} = x_{i}^{t} + (r^{2} \cdot x_{j}^{t} - x_{k}^{t}) f_{i}^{t}

（4）

式中： $x_{j}^{t}$ 和 $x_{k}^{t}$ 为第j只蝴蝶和第k只蝴蝶在第t次迭代过程中的位置向量。

在位置更新完之后，还需要更新感官模态因子c，更新方式为

c^{t + 1} = c^{t} + \frac{0.025}{c^{t} \cdot M a x i t e r}

（5）

式中： $c^{t}$ 为第t次迭代过程中的感官模态因子；Maxiter为最大迭代次数。

1.4　改进蝴蝶优化算法

BOA具有拓扑简单、收敛速度快等优点，在简单低维问题求解中具有良好的优势，但在进行多维复杂问题求解过程中，BOA算法易陷入局部最优，且搜索速度慢、寻优精度差，针对上述BOA在三维航迹规划中存在的问题，本文提出了IBOA。

1.4.1　对数型自适应惯性权重调整策略

惯性权重系数能够有效调节算法全局勘测与局部开采能力^［

11］。为了提高BOA在多维复杂问题求解过程的收敛速度和精度，引入对数型自适应惯性权重调整策略。该策略中，惯性权重系数随迭代次数的增加呈现波动式递减，在提高收敛速度的同时，增加了调整策略的随机性，有效调节算法寻优能力，所提对数型自适应惯性权重调整策略的数学表达为

w = τ β + l o g_{2} (\frac{{(M a x i t e r - t)}^{2}}{M a x i t e r})

（6）

式中： $τ$ 和分别 $β$ 为［0，1］、［-1，1］之间的均匀分布随机数；t为当前迭代次数。

图3为自适应惯性权重系数与进化代数关系曲线图。从图3中可以看出，随着进化代数的增加，自适应惯性权重系数波动性减小，且后期下降速度快，说明后期收敛性较好，有助于提高BOA的收敛性能。

图3 自适应惯性权重系数与进化代数关系曲线图

Fig.3 Relationship between adaptive inertia weight coefficient and evolutionary algebra

加入对数型自适应惯性权重调整策略之后的全局位置搜索方法更新为

x_{i}^{t + 1} = w \cdot x_{i}^{t} + (r^{2} \cdot g_{b e s t} - x_{i}^{t}) f_{i}^{t}

（7）

1.4.2　全局动态更新调节策略

为了提高全局搜索能力，借鉴局部搜索过程中所使用的随机位置差分更新策略，在加入惯性权重之后引入动态调节策略ε，其数学表达式为

ε = b e t a r n d \times s i n (\frac{π}{2} \times \frac{t}{M a x i t e r})

（8）

式中betarnd为呈beta分布的随机数。

调整之后的全局搜索策略为

x_{i}^{t + 1} = w \cdot x_{i}^{t} + (r^{2} \cdot g_{b e s t} - x_{i}^{t} + ε \cdot (x_{j}^{t} - x_{k}^{t})) f_{i}^{t}

（9）

1.4.3　动态余弦概率选择策略

为了防止算法陷入局部最优，在局部搜索阶段引入动态余弦概率选择策略，增强局部搜索过程中位置更新多样性，所提动态选择概率数学模型为

p_{i} = μ \times c o s (r a n d \times \frac{π}{2})

（10）

式中：μ∈［0.85，0.95］；rand∈［ 0，1］的均匀分布随机数。

当第i只蝴蝶对应的随机数r_i≥p_i时，位置更新遵从式（3），否则，按如下方式进行位置更新

x_{i}^{t + 1} = φ \times g_{b e s t} + \frac{(\sqrt[]{5} - 1) \times (x_{j}^{t} - x_{k}^{t}) \times f_{i}^{t}}{2}

（11）

式中： $φ = 1 + Γ_{r a n d} \times t a n [π \times (r a n d - 0.5)]$ ， $Γ_{r a n d}$ 为呈伽马分布的随机数。

综上所述，IBOA的算法流程如图4所示。算法具体步骤如下：

图4 改进蝴蝶优化算法流程图

Fig.4 Flow chart of IBOA

Step 1 对算法参数进行初始化。

Step 2 初始化蝴蝶种群位置向量并计算相应位置。

Step 3 记录初始化种群中的最优适应度值及其对应的蝴蝶位置。

Step 4 根据式（2）计算蝴蝶的香味浓度。

Step 5 判断计算机生成的均匀分布随机数r与全局/局部位置更新转换概率p之间的大小，若r<p，则执行步骤6~8，否则执行步骤9~11。

Step 6 根据式（6）计算自适应惯性权重系数w。

Step 7 根据式（8）计算动态调节因子ε。

Step 8 根据式（9）更新蝴蝶位置。

Step 9 根据式（10）计算动态选择概率p_i，并判断生产的均匀分布随机数r_i与p_i之间的大小关系，若r_i>p_i，则执行步骤10，否则执行步骤11。

Step 10 根据式（4）更新蝴蝶位置。

Step 11 根据式（11）更新蝴蝶位置。

Step 12 在选择完位置更新方式后，按照式（5）进行感官模态因子c的更新。

Step 13 判断当前迭代次数是否超出最大跌代次数限制，若超出则跳出循环，并输出待寻优函数的函数值；若未超出则重复执行步骤4~12，直到循环结束。

1.5　最优航迹选择

UAV最优航迹是指在多条可行航迹中全局跟随能力最强或次强的航迹。因此，本文设计了一种多目标融合的评估函数，用以选取UAV自主导航中的最优航迹。评估函数综合考虑了航迹长度约束函数f_r，最小转弯半径约束函数f_d和碰撞风险函数f_t。多目标融合后的代价评估函数表示为

I_{i m}^{t - 1} = m i n (U_{i}^{d} (w_{1} \times f_{r i}^{t - 1} + w_{2} \times f_{d i}^{t - 1} + w_{3} \times f_{t i}^{t - 1}))

（12）

式中： $U_{i}^{d}$ 表示d只蝴蝶组成的适应度函数集合； $f_{r i}^{t - 1}$ 为航迹长度向量； $f_{d i}^{t - 1}$ 为转弯半径向量； $f_{t i}^{t - 1}$ 为碰撞风险向量；w₁、w₂和w₃分别为航迹长度向量、转弯半径向量和碰撞风险向量所对应的比例系数。

1.5.1　航迹长度与高度约束函数的设计

在飞行速度一定时，航迹长度与油耗、作战反应时间均呈正比关系，为了简述方便，本文采取欧拉距离来综合反映油耗与反应时间^［

12］，其约束函数可表示为

f_{r i}^{t - 1} = \sum_{j = 1}^{m - 1} \sqrt[]{{(x_{j + 1} - x_{j})}_{i}^{2} + {(y_{j + 1} - y_{j})}_{i}^{2} + {(z_{j + 1} - z_{j})}_{i}^{2}}

（13）

式中： j为当前航点编号；m为总航点数，即单只蝴蝶位置点总个数；（x_j，y_j，z_j）为航点坐标。

从安全角度出发，UAV在一定区域内飞行时高度不易过高或过低，高度约束为

Z_{m i n} \leq Z_{j} \leq Z_{m a x}

j=1，2，3，…，m

（14）

式中：Z_j为第j个航迹点位置时的飞行高度；Z_min、Z_max分别为航迹规划的最低飞行高度和最高飞行高度，当为二维航迹规划时，Z_min=Z_max=0。

1.5.2　转弯半径约束函数的设计

UAV在执行飞行任务时，很少仅沿直线飞行，因此需要考虑转弯半径约束。其目的是使UAV沿着规划的最优航迹飞行，并形成可飞的平滑航迹。通常，UAV飞行的转弯半径主要受以下约束：

（1）不超出UAV飞行的物理边界，比如速度、俯仰角等的变化范围。

（2）不超出UAV工作负荷极限^［

13］，如最大法向过载。

本文基于上述两点约束，利用式（14）对每个转折点处的曲率进行过载限制，得到UAV最小转弯半径为

f_{d} = \frac{V_{m i n}^{2}}{g \times \sqrt[]{n_{y m a x}^{2} - 1}}

（15）

式中V_min和n_y_max分别为UAV的最小飞行速度及最大法向过载。

1.5.3　安全性代价函数

UAV执行飞行任务时最重要的一点是需要避开航迹上的威胁^［

14］，安全性代价函数即是用来评估搜索航迹受到的威胁程度，安全性代价函数表示为

f_{t} = \frac{L_{p q}}{e x p [m i n (d_{p}, d_{q}, d_{p q}) / L_{p q}] - 1}

（16）

式中：L_pq为该段的航路直线距离；d_p、d_q为航点P_p、P_q到所有威胁源的最短距离；d_pq为航点P_p到航点P_q连线线段到所有威胁源的最短距离。当d_p、d_q和d_pq的最小值趋近于0时，说明该段航路段即将与威胁区域相碰，此时安全代价函数值趋于无穷大。

因此，航迹规划问题转化为在满足式（13~16）约束条件下的一组航迹点，且使得式（12）最小。

1.5.4　轨迹平滑处理

生成出来的航迹点连线呈直线，航迹上存在不可导的点，容易使航迹发散^［

15］。为了让航迹平滑，采用圆弧拟合方法，对参考的航迹进行修正，使得拟合后的航迹曲线满足UAV最小转弯半径限制，如图5所示。图中，A、B、C分别表示航迹段上端点；R表示转弯半径；O为∠ABC角平分线上的一点；P₁、P₂为以O为原点，R为半径作弧，与线段AB、BC相切的两个切点。

图5 航迹拟合示意图

Fig.5 Schematic diagram of track fitting

2 仿真实验

本仿真实验的硬件环境为Inter（R）Core（TM） i7‑9750H CPU 2.60 GHz， RAM 16 GB， Win10操作系统，仿真软件为MATLAB R2022a。

基于上述仿真环境，采用上述算法模型，本文首先选取了4种多元复杂函数对IBOA算法与BOA算法的收敛速度、收敛精度等进行对比测试，并将改进算法应用到UAV航迹规划，分析了2种算法下航迹规划效果。

2.1　复杂多元函数仿真分析

本文仿真分析了感官模态因子c为0，01，幂指数α为0.3，转换概率p为0.5，种群数量M为50，最大迭代次数Martix为100时，典型算法测试函数F₁—F₄的最优解、最差解和解方差。表1中给出了4种典型CEC测试函数的最优解及其对应的搜索范围，其中F₁—F₂用来测试寻优算法跳出局部最优的能力；F₃—F₄用来测试算法收敛速度。表2中列出了两种寻优算法各自进行10次独立仿真实验的结果，从结果中可以看出，改进蝴蝶优化算法较BOA算法收敛精度更高，且稳定性较好。

表1 CEC测试函数

Table 1 CEC test functions

序号	函数	寻优范围
F₁	Alpine	［-10，10］
F₂	Ackely	［-10，10］
F₃	Zakharov	［-10，10］
F₄	Sum of different power	［-10，10］

表2 CEC函数10次寻优精度情况分析

Table 2 Analysis of 10 times of optimization accuracy of CEC function

函数	算法	最差解	最优解	解方差
F₁	IBOA	0	0	0
F₁	BOA	1.402 7e-2	1.493 6e-3	1.655 7e-05
F₂	IBOA	4.440 9e-16	4.440 9e-16	0
F₂	BOA	3.216 9e-2	4.895 1e-3	8.186 8e-05
F₃	IBOA	0	0	0
F₃	BOA	1.020 7e-2	1.364 4e-05	1.057 1e-05
F₄	IBOA	0	0	0
F₄	BOA	2.135 3e-3	1.369 7e-06	5.745 9e-07

图6为不同测试函数的收敛速度曲线图。可以看出，在相同仿真实验条件下，IBOA算法较BOA算法收敛曲线具有更大的下降斜率，小于10次迭代即可搜索到最优解，说明所提改进蝴蝶优化算法收敛速度更快。

图6 不同测试函数下的算法收敛速度曲线图

Fig.6 Algorithm convergence speed plot under different test functions

通过对比可以看出，引入的对数型自适应惯性权重调整策略、全局动态更新调节策略和动态余弦概率选择策略使得基本蝴蝶优化算法性能得到明显提升。

2.2　二维路径规划仿真

为了对比所提IBOA算法与PSO算法在二维路径规划中的性能，设定规划区域为6 km×6 km，起点坐标设置为（0，0），终点坐标设置为（6，6），威胁点坐标如表3所示，具体实验结果如图7所示。

表3 二维仿真威胁点坐标

Table 3 Coordinates of 2‑D simulated threat points

威胁	坐标	威胁半径/km
1	（1.2，1.2）	0.9
2	（0，3）	0.8
3	（1.8，4.5）	0.5
4	（4，0.5）	0.5
5	（4，2.8）	0.8
6	（4.5，4.5）	0.5
7	（2.2，6.5）	0.3
8	（3.5，5.5）	0.3
9	（5.5，1.8）	0.2
10	（6，3）	0.3

图7 两种算法路径规划对比图

Fig.7 Comparison chart of path planning of two algorithms

从图7中可以看出，本文所提的IBOA算法所规划的二维路径比PSO算法规划路径更短，说明IBOA算法规划效果更明显，这是因为在局部和全局搜索阶段引入的调节策略随机性和收敛性更强。

表4是上述两种算法每个算法独立运行20次所求解的路径长度，从表中可以看出，所提的IBOA算法在相同条件下较PSO算法具有更强的规划能力，最优路径短1.151 1 km，最差路径短3.111 km。

表4 2种算法路径长度对比

Table 4 Comparison of path lengths of the two algorithms ( km )

算法	最优路径	最差路径	平均路径
PSO	10.024 0	12.036 0	10.667 0
IBOA	8.872 9	8.925 0	8.890 1

2.3　UAV三维航迹规划仿真

设定规划区域为100 km×100 km×50 km，分辨力为1 km，起点坐标设置为（1，1，1），终点坐标设置为（100，100，20），最低飞行高度Z_min≥1 km，最大飞行高度Z_max≤20 km，图8、9分别为通过式（1）随机生成的不同数量威胁源时的UAV三维仿真航迹和迭代曲线图，其威胁源数分别为15、25。从图中可以看出，威胁源的数量对航迹规划影响较大，威胁源越多，规划难度越高。

图8 15个威胁山峰搜索航迹图

Fig.8 Map of 15 threat mountain search tracks

图9 25个威胁山峰搜索航迹图

Fig.9 Map of 25 threat mountain search tracks

图8为15个威胁源时BOA与IBOA算法航迹搜索结果。图8（a）为三维航迹效果图，图8（b）为规划俯视图，从图中可以看出BOA算法规划的航迹存在越界风险，规划有效率较IBOA算法低，图8（c）为迭代曲线， IBOA算法与BOA算法所对应的适应度值分别为147.316 2、 215.011 3，从结果来看，IBOA具有更高的搜索进度。

图9为25个威胁源时BOA与IBOA算法航迹搜索结果。图9（a）为三维航迹效果图，图9（b）为规划俯视图，从图中可以看出BOA算法规划的航迹也存在越界风险，图9（c）为迭代曲线，IBOA算法与BOA算法所对应的适应度值分别为165.041 7、 211.383 1，从结果来看，IBOA具有更高的搜索进度。

上述两种三维航迹规划仿真情景下，不同算法的耗时情况如表5所示。从表中可以看出，在相同仿真情景下，IBOA算法具有耗时短的特点，说明改进蝴蝶优化算法搜索速度快、搜索效率高。

表5 2种算法在不同仿真情景下的耗时情况

Table 5 Time consumption of the two algorithms under different simulation scenarios ( s )

算法	15个威胁源	25个威胁源
BOA	20.252	26.577
IBOA	14.637	22.842

3 结论

为了提高UAV执行任务时的自主导航能力，本文以基本蝴蝶优化算法模型为基础，针对BOA算法现存缺点，引入对数自适应惯性权重调整策略、动态更新调节策略和动态概率余弦选择策略，提出了一种改进蝴蝶优化算法，得到结论如下：

（1）相较于BOA算法，文中所提的IBOA算法性能更优，具有搜索速度快、搜索精度高的特点，更加适合应用于多维复杂目标函数寻优问题。

（2）所提IBOA算法可提高航迹规划搜索效率，对二维或三维UAV、机器人等应用领域的航迹规划具有良好的指导作用。

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基于改进蝴蝶优化算法的无人机3‑D航迹规划方法 PDF

摘要

关键词

1 模型构建

1.1 航迹规划问题

1.2 威胁空间模型

1.3 基本蝴蝶优化算法

1.4 改进蝴蝶优化算法

1.5 最优航迹选择

2 仿真实验

2.1 复杂多元函数仿真分析

2.2 二维路径规划仿真

2.3 UAV三维航迹规划仿真

3 结 论

参 考 文 献