基于DNA弹性细杆模型的Euler-Lagrange方程

萧业; 孔斌; 李春; XIAO Ye; KONG Bin; LI Chun

2025年6月29日 17:46 星期日

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基于DNA弹性细杆模型的Euler⁃Lagrange方程 PDF

萧业 ¹
孔斌 ²
李春 ¹

1. 西北工业大学力学与土木建筑学院，西安，710072； 2. 国电南瑞科技股份有限公司，南京，211106

中图分类号： O343

发布日期：2019-09-11

DOI：10.16356/j.1005-2615.2019.04.015

摘要

采用了分析力学的方法，基于最小势能原理，DNA弹性曲杆的Euler⁃Lagrange方程组，运用弹性细杆模型拟合了A⁃，B⁃，Z⁃DNA的r⁃h曲线，讨论了弹性细杆模型描述3种DNA几何构型的可行性。与实验数据对比发现，通过计算，给定合适的曲率κ、挠率τ、扭转角χ，圆截面弹性细杆模型可以用来描述A⁃，B⁃DNA的几何构型；当椭圆截面的长宽比k=0.141时，采用椭圆截面弹性细杆模型拟合Z⁃DNA的r₀⁃h曲线与实验结果相一致。此研究内容有望为DNA分子构型的研究与探索提供参考。

关键词

Euler⁃Lagrange方程; 弹性细杆模型; DNA

生物学领域的研究发现，任何组织细胞中的DNA都是通过有序的折叠以压缩自身体积从而存在于细胞中的。与此同时，医学上也已证实DNA的无序折叠压缩是许多疾病的成因，例如老年痴呆症(Alzheimer’s)、疯牛病(Mad cow)、克劳伊登病(Creutzfeldt⁃Jacob)等^[

1,2]。而为了攻克这一难题，研究学者们建立了各式各样的理论研究模型，其中包括了晶格模型、随机能量模型、统计力学模型与分子动力学模型^{[参考文献 3
查找原文}3,4,5,6,7,8,9,10,11]。尽管受限于细胞内的复杂结构性，各个模型的构造方式各不相同，但是它们都是基于同一个机理：DNA分子链的平衡几何构型总是使DNA的自由能趋于极小值。

基于此原理，Feoli等^[

12]于2005年对α⁃螺旋线形蛋白质的二级结构与三级结构进行了研究，并认为α⁃螺旋线形蛋白质的能量密度是其中心线曲率的线性函数。众所周知，空间曲线，尤其是螺旋线，其几何构型的变化不但与曲线的曲率有关，更与其挠率有着密切的联系。因此，为了将Feoli研究方法的基本思路推广应用至结构更为复杂的空间曲线，本文中假定DNA螺旋线的能量密度函数不但依赖于曲线的曲率，更与螺旋线的挠率以及曲率、挠率的一阶导数相关；并基于此能量密度结合变分原理的有关知识推导出DNA螺旋线的Euler⁃Lagrange方程。在此基础上，通过引入截面的扭转角及其一阶导数，将曲线的Euler⁃Lagrange方程推广至曲杆的Euler⁃Lagrange方程组。最后，分别采用圆截面弹性细杆模型与椭圆截面弹性细杆模型模拟A⁃，B⁃，Z⁃DNA的r⁃h曲线，并与实验数据进行对比。

1 DNA螺旋杆的Euler⁃Lagrange方程

为了简化DNA分子的复杂结构，首先将DNA螺旋线作为一段三维欧几里得空间中的光滑曲线，曲线上任一点的位置坐标可由如下参数方程表示

$r (s) = (x (s), y (s), z (s))$

(1)

式中：s∈(a,b)为曲线的弧长参数；a, b为曲线端点的参数。而根据微分几何原理^[

13,14]，曲线的曲率与挠率可表示为

$κ = \frac{|r' (s) \times r'' (s)|}{{|r' (s)|}^{3}} τ = \frac{(r' (s), r'' (s), r''' (s))}{{|r' (s) \times r'' (s)|}^{2}}$

(2)

式中：r'(s)，r''(s)，r'''(s)分别为r(s)对弧长s的一阶、二阶以及三阶导数；(,)表示三重积。引入随动的Frenet坐标系{T(s), N(s), B(s)}，则曲线上一点的位置变化后的矢径参数 $\tilde{r}$ 可表示为^[

15]

$\tilde{r} (s) = r (s) + ε_{1} ψ_{1} (s) T (s) + ε_{2} ψ_{2} (s) N (s) + ε_{3} ψ_{3} (s) B (s)$

(3)

式中：ε_i(s)，i=1, 2, 3，为任意常数；ψ_i(s)是与(a, b)紧密相关的任意函数，即ψ_i(s)及其一阶导数在曲线的端点处都为零。

由于弹性曲杆的Kirchhoff方程是弯扭度与主矢、主矩的一阶常微分方程组，而弯扭度与曲杆的曲率、挠率和扭转角相关，因此，曲杆的能量密度函数与曲线的不同，它不仅依赖于曲率、挠率，更与曲杆截面的扭转角及其一阶导数有着密切的联系。其自由能可表示为

$E (r) = \int Γ [κ (s), τ (s), χ (s), χ_{s} (s)] d L = \int_{a}^{b} Γ [κ (s), τ (s), χ (s), χ_{s} (s)] |r' (s)| d s$

(4)

式中：χ_s(s)=dχ/ds，即杆截面绕中心线的扭转率，又称为内扭率。基于最小势能原理有

$\begin{matrix} {\int \frac{\partial Γ}{\partial κ} \frac{\partial κ}{\partial ε_{i}} |\tilde{r}'||}_{ε_{i} = 0} d s + {\int \frac{\partial Γ}{\partial τ} \frac{\partial τ}{\partial ε_{i}} |\tilde{r}'||}_{ε_{i} = 0} d s + \\ {\int \frac{\partial Γ}{\partial χ} \frac{\partial χ}{\partial ε_{i}} |\tilde{r}'||}_{ε_{i} = 0} d s {+ \int \frac{\partial Γ}{\partial χ_{s}} \frac{\partial χ_{s}}{\partial ε_{i}} |\tilde{r}'||}_{ε_{i} = 0} d s + \\ {\int Γ \frac{\partial |\tilde{r}'|}{\partial ε_{i}}|}_{ε_{i} = 0} d s = 0 \end{matrix}$

(5)

由方程(1,2)可得曲率κ、挠率τ以及 $\tilde{r}'$ 关于ε_i的偏微分为

$\begin{array}{l} {\frac{\partial κ}{\partial ε_{1}}|}_{ε_{i} = 0} = κ' ψ_{1} \\ {\frac{\partial κ}{\partial ε_{2}}|}_{ε_{i} = 0} = ψ_{2}'' + (κ^{2} - τ^{2}) ψ_{2} \\ {\frac{\partial κ}{\partial ε_{3}}|}_{ε_{i} = 0} = - 2 τ ψ_{3}' - τ' ψ_{3} \\ {\frac{\partial τ}{\partial ε_{1}}|}_{ε_{i} = 0} = τ' ψ_{1} \\ {\frac{\partial τ}{\partial ε_{2}}|}_{ε_{i} = 0} = \\ \frac{2 τ}{κ} ψ_{2}'' + (\frac{3 τ'}{κ} - \frac{2 τ κ'}{κ^{2}}) ψ_{2}' + (2 κ τ + \frac{τ''}{κ} - \frac{κ' τ'}{κ^{2}}) ψ_{2} \\ {\frac{\partial τ}{\partial ε_{3}}|}_{ε_{i} = 0} = \frac{1}{κ} ψ_{3}''' - \frac{κ'}{κ^{2}} ψ_{3}'' + \\ (κ - \frac{τ^{2}}{κ}) ψ_{3}' + (- \frac{2 τ τ'}{κ} + \frac{τ^{2} κ'}{κ^{2}}) ψ_{3} \\ {\frac{\partial {|\tilde{r}'|}^{2}}{\partial ε_{1}}|}_{ε_{i} = 0} = 2 ψ_{1}' \\ {\frac{\partial {|\tilde{r}'|}^{2}}{\partial ε_{2}}|}_{ε_{i} = 0} = - 2 κ ψ_{2} \\ {\frac{\partial {|\tilde{r}'|}^{2}}{\partial ε_{3}}|}_{ε_{i} = 0} = 0 \end{array}$

(6)

关于方程组(6)的具体推导过程参见文献[

11]。类似地，有

${\frac{\partial χ_{s}}{\partial ε_{i}}|}_{ε_{i} = 0} = \frac{1}{|\tilde{r}'|} \frac{\partial}{\partial ε_{i}} (\frac{d χ}{d s}) + \frac{d χ}{d s} \frac{\partial}{\partial ε_{i}} (\frac{1}{|\tilde{r}'|}) = \frac{1}{|\tilde{r}'|} \frac{d}{d s} (\frac{\partial χ}{\partial ε_{i}}) - \frac{1}{{|\tilde{r}'|}^{2}} \frac{d χ}{d s} \frac{\partial |\tilde{r}'|}{\partial ε_{i}}$

(7)

令扭转角的变分为一小量，即∂χ /∂ε_i=ψ₄。并将其代入式（7)，则

${\frac{\partial χ_{s}}{\partial ε_{i}}|}_{ε_{i} = 0} = ψ_{4}' - χ_{s} (ψ_{1}' - κ ψ_{2})$

(8)

将方程(6—8)代入方程(5)可表示为

$\begin{matrix} \int [\frac{d}{d s} (\frac{\partial Γ}{\partial χ_{s}} χ_{s} - Γ) + \frac{\partial Γ}{\partial κ} κ' + \frac{\partial Γ}{\partial τ} τ'] ψ_{1} d s + \{\frac{d^{2}}{d s^{2}} (\frac{\partial Γ}{\partial κ} + \frac{2 τ}{κ} \frac{\partial Γ}{\partial τ}) - \frac{d}{d s} [\frac{\partial Γ}{\partial τ} (\frac{3 τ'}{κ} - \\ \frac{2 κ' τ}{κ^{2}})] + \frac{\partial Γ}{\partial κ} (κ^{2} - τ^{2}) + \frac{\partial Γ}{\partial τ} (2 κ τ + \frac{τ''}{κ} - \frac{κ' τ'}{κ^{2}}) + \frac{\partial Γ}{\partial χ_{s}} χ_{s} κ - Γ κ} ψ_{2} d s + \\ \{- \frac{d^{3}}{d s^{3}} (\frac{\partial Γ}{\partial τ} \frac{1}{κ}) + \frac{d^{2}}{d s^{2}} (\frac{\partial Γ}{\partial τ} \frac{κ'}{κ^{2}}) - \frac{d}{d s} [- \frac{\partial Γ}{\partial κ} 2 τ + \frac{\partial Γ}{\partial τ} (κ - \frac{τ^{2}}{κ})] - \frac{\partial Γ}{\partial κ} τ' + \\ \frac{\partial Γ}{\partial τ} (\frac{κ' τ^{2}}{κ^{2}} - \frac{2 τ τ'}{κ})\} ψ_{3} d s - [\frac{d}{d s} (\frac{\partial Γ}{\partial χ_{s}}) - \frac{\partial Γ}{\partial χ}] ψ_{4} d s = 0 \end{matrix}$

(9)

如对于任意的函数ψ₁，ψ₂，ψ₃和ψ₄均恒成立，则必有ψ₁，ψ₂，ψ₃和ψ₄前面的系数恒为零，即

$\frac{d}{d s} (\frac{\partial Γ}{\partial χ_{s}} χ_{s} - Γ) + \frac{\partial Γ}{\partial κ} κ' + \frac{\partial Γ}{\partial τ} τ' = 0$

(10)

$\begin{matrix} \frac{d^{2}}{d s^{2}} (\frac{\partial Γ}{\partial κ} + \frac{2 τ}{κ} \frac{\partial Γ}{\partial τ}) - \frac{d}{d s} [\frac{\partial Γ}{\partial τ} (\frac{3 τ'}{κ} - \frac{2 κ' τ}{κ^{2}})] + \frac{\partial Γ}{\partial κ} (κ^{2} - τ^{2}) + \frac{\partial Γ}{\partial τ} (2 κ τ + \frac{τ''}{κ} - \\ \frac{κ' τ'}{κ^{2}}) + \frac{\partial Γ}{\partial χ_{s}} χ_{s} κ - Γ κ = 0 \end{matrix}$

(11)

$\begin{matrix} - \frac{d^{3}}{d s^{3}} (\frac{\partial Γ}{\partial τ} \frac{1}{κ}) + \frac{d^{2}}{d s^{2}} (\frac{\partial Γ}{\partial τ} \frac{κ'}{κ^{2}}) - \frac{d}{d s} [- \frac{\partial Γ}{\partial κ} 2 τ + \frac{\partial Γ}{\partial τ} (κ - \frac{τ^{2}}{κ})] - \frac{\partial Γ}{\partial κ} τ' + \\ \frac{\partial Γ}{\partial τ} (\frac{κ' τ^{2}}{κ^{2}} - \frac{2 τ τ'}{κ}) = 0 \end{matrix}$

(12)

$\frac{d}{d s} (\frac{\partial Γ}{\partial χ_{s}}) - \frac{\partial Γ}{\partial χ} = 0$

(13)

曲杆能量密度函数Γ的全导数

$\frac{d Γ}{d s} = \frac{\partial Γ}{\partial κ} κ' + \frac{\partial Γ}{\partial τ} τ' + \frac{\partial Γ}{\partial χ} χ' + \frac{\partial Γ}{\partial χ_{s}} χ_{s}'$

(14)

联立方程(13，14)，可得方程(10)恒成立。因此，方程组(11—13)即为DNA弹性细杆模型的Euler⁃Lagrange方程组。

由DNA曲杆的弹性应变能函数^[

16,17,18]，有

$E = \frac{1}{2} \int_{0}^{L} [A ω_{1}^{2} + B ω_{2}^{2} + C {(ω_{3} - ω_{3}^{0})}^{2}] d s$

(15)

式中：A，B为截面绕x轴与y轴的抗弯刚度；C为截面绕z轴的抗扭刚度；而x，y为截面主轴， $ω_{3}^{0}$ 为初始扭率。

当弹性细杆的截面为圆截面时，式(15)可简化为

$Γ = \frac{1}{2} [A κ^{2} + C (ω_{3} - ω_{3}^{0})^{2}]$

(16)

由弹性杆平衡时的Kirchhoff方程分式^[

19]

$C \frac{d ω_{3}}{d s} = (A - B) ω_{1} ω_{2}$

(17)

可知，当A=B时，扭率ω₃必保持常值，记为ω₃=ω₃₀。令φ=ω₃₀- $ω_{3}^{0}$ ，则式（16）可进一步简化为

$Γ = \frac{A}{2} κ^{2} + \frac{C}{2} φ^{2}$

(18)

基于式（18）可知，当弹性细杆的截面为圆截面时，其能量密度函数只与曲率κ相关，即曲杆的Euler⁃Lagrange方程组中的∂Γ/∂τ=0, ∂Γ/∂χ=0, ∂Γ/∂χ_s=0。因此，圆截面弹性细杆的Euler⁃Lagrange方程组可简化为

$\frac{d^{2} κ}{d s^{2}} - (τ^{2} + \frac{C}{2 A} φ^{2}) κ + \frac{1}{2} κ^{3} = 0$

(19)

$2 \frac{d}{d s} (κ τ) - κ τ' = 0$

(20)

其中，对式(20)积分可得

$τ = \frac{λ}{κ^{2}}$

(21)

式中λ为一积分常数。将式（21）代入式(19)可得

$\frac{d^{2} κ}{d s^{2}} - (\frac{λ^{2}}{κ^{4}} + \frac{C}{2 A} φ^{2}) κ + \frac{1}{2} κ^{3} = 0$

(22)

令δ=λ²/κ⁴+Cφ/2A，方程(22)即在非线性振动力学中有广泛应用的Duffing方程^[

20,21]。

而当弹性细杆的截面为非圆截面时，令Γ₁'=∂Γ/∂κ, Γ₂'=∂Γ/∂τ, Γ₃'=∂Γ/∂χ, Γ₄'=∂Γ/∂χ_s，则有

$\begin{matrix} Γ_{1}' = \partial Γ / \partial κ = (A s i n^{2} χ + B c o s^{2} χ) κ \\ Γ_{2}' = \partial Γ / \partial τ = C (τ + χ_{s} - ω_{3}^{0}) \\ Γ_{3}' = \partial Γ / \partial χ = \frac{1}{2} (A - B) κ^{2} s i n^{2} χ \\ Γ_{4}' = \partial Γ / \partial χ_{s} = C (τ + χ_{s} - ω_{3}^{0}) \end{matrix}$

(23)

将式(23)代入方程组(11—13)，可得非圆截面弹性细杆的Euler⁃Lagrange方程组

$\begin{matrix} \frac{d^{2}}{d s^{2}} [(A s i n^{2} χ + B c o s^{2} χ) κ + \frac{2 τ C ψ}{κ}] - \frac{d}{d s} [\frac{C ψ}{κ^{2}} (3 κ τ' - 2 κ' τ)] + (A s i n^{2} χ + \\ B c o s^{2} χ) (κ^{2} - τ^{2}) κ + \frac{C ψ}{κ^{2}} (2 κ^{3} τ + κ τ'' - κ' τ') + \\ C ψ χ_{s} κ - \frac{1}{2} [(A s i n^{2} χ + B c o s^{2} χ) κ^{2} + C ψ^{2}] κ = 0 \end{matrix}$

(24)

$\begin{matrix} - \frac{d^{3}}{d s^{3}} (\frac{C ψ}{κ}) - \frac{d^{2}}{d s^{2}} (\frac{C ψ κ'}{κ^{2}}) - \\ \frac{d}{d s} [\frac{C ψ}{κ^{2}} (κ^{3} - κ τ^{2}) - 2 (A s i n^{2} χ + B c o s^{2} χ) κ τ] + \\ \frac{C ψ}{κ^{2}} (κ' τ^{2} - 2 κ τ τ') - (A s i n^{2} χ + B c o s^{2} χ) κ τ' = 0 \end{matrix}$

(25)

$C \frac{d}{d s} ψ - \frac{1}{2} (A - B) κ^{2} s i n^{2} χ = 0$

(26)

式中ψ=τ+χ_s- $ω_{3}^{0}$ 。联立方程(19，20)和方程组(24—26)，可以发现当Γ₂'=0, Γ₃'=0, Γ₄'=0时，方程组(24—26)能够退化到方程(19，20)的形式，因此，非圆截面弹性细杆的Euler⁃Lagrange方程(24—26)具有更强的通用性。

2 计算与分析

自从X射线衍射技术应用于探索DNA的几何构型，其双螺旋结构就引起了人们的广泛关注。而DNA分子密度表明，规则的双螺旋结构是由两条多聚核苷酸链组成。而核苷酸的性质是由碱基配对理论来决定。碱基配对的方式不同，必然会产生不同构象的DNA分子链。Watson和Crick提出的空间几何结构是DNA钠盐在较高湿度下(92%)的纤维结构，即B⁃DNA结构。B⁃DNA含水量较高，是大多数DNA在细胞中的构象，由10对碱基对组成。当相对湿度降至75%以下时，DNA的纤维构象具有不同于B⁃DNA的结构特点，尽管也为右手双螺旋，但螺旋半径变大而螺距减小，碱基平面也不与螺旋轴垂直，且每圈螺旋由11个碱基对组成，这种构象的DNA被称为A⁃DNA。而Z⁃DNA的每圈螺旋含12对碱基，其双股螺旋为左旋型态，与A⁃，B⁃DNA的右旋型态有明显差别（见图1）。大量医学研究证实，A⁃DNA，B⁃DNA与Z⁃DNA是生物细胞中最常见的DNA分子链的3种构象^[

22,23]。因此，选用合适的通用模型对其进行研究就显得十分必要。由于实验中观察到的A⁃，B⁃和Z⁃DNA几何结构近似于圆柱形螺旋线，为了降低计算复杂程度，在此令曲率κ与挠率τ是独立于杆的弧长坐标s的，即κ΄=0，τ΄=0。

图1 DNA构象图

Fig.1 Configurations of A⁃DNA, B⁃DNA, Z⁃DNA

杆的刚度是由弹性模量E、剪切模量G及截面的几何形状所决定的。由于细杆模型的截面为圆截面，因此，其弯曲刚度与剪切刚度可表示为

$A = B = \frac{E π a^{4}}{4} C = \frac{G π a^{4}}{2}$

(27)

由此，方程(19，20)可简化为

$κ^{2} - 2 τ^{2} - \frac{1}{1 + υ} ψ^{2} = 0$

(28)

另一方面，DNA分子链在三维欧几里得空间可由如下参数方程表示

$r (s) = (r_{0} c o s s, r_{0} s i n s, h s)$

(29)

式中：r₀为螺旋半径，h为一参数，且h=p/2π，p为螺距。当κ ΄=0，τ ΄=0时，由式(2)可得

$\begin{array}{l} κ = \frac{|r' (s) \times r'' (s)|}{{|r' (s)|}^{3}} = \frac{r_{0}}{r_{0}^{2} + h^{2}} \\ τ = \frac{(r' (s), r'' (s), r''' (s))}{{|r' (s) \times r'' (s)|}^{2}} = \frac{h}{r_{0}^{2} + h^{2}} \end{array}$

(30)

将式(29)代入方程(30)可得

$χ_{s} = \frac{\sqrt[]{(1 + υ) (r_{0}^{2} - 2 h^{2})} - h}{r_{0}^{2} + h^{2}} + ω_{3}^{0}$

(31)

$χ_{s} = \frac{- \sqrt[]{(1 + υ) (r_{0}^{2} - 2 h^{2})} - h}{r_{0}^{2} + h^{2}} + ω_{3}^{0}$

(32)

假设初始扭率为零，将表1中3种DNA的几何参数数据代入,方程(31，32)分别给出了一正一负两个χ_s的数值。而由A⁃DNA与B⁃DNA均为右手螺旋可知，χ_s>0。因此，对于A⁃DNA与B⁃DNA两种构象的DNA链段来说，只有方程(31)的解是有效的。

表1 A⁃，B⁃，和Z⁃DNA的几何参数^{[参考文献 22
查找原文}22,24,25,26]

Tab.1 Geometry properties of A⁃, B⁃, and Z⁃DNA

DNA	p/nm	r₀/nm	p/r₀	r₀/h
A⁃DNA	2.46	1.3	1.89	3.32
B⁃DNA	3.32	1.0	3.32	1.89
Z⁃DNA	4.56	0.9	5.07	1.24

由方程(30,31)，可以通过计算弹性细杆的曲率κ、挠率τ、扭转角χ，从而确定用以模拟A⁃DNA和B⁃DNA的弹性细杆的平衡几何构型。

由方程(31,32)可知，有实数解的前提条件为r₀> $\sqrt[]{2} h$ ，然而许多聚合物却不满足这个条件，例如Z⁃DNA(r₀/h=1.24< $\sqrt[]{2}$ )。因此，继续用圆截面弹性细杆模型描述Z⁃DNA就不合适了。因此，采用椭圆截面弹性细杆模型来描述Z⁃DNA的平衡构型。

由κ ΄=0，τ ΄=0可知，Euler⁃Lagrange方程组中方程(25)恒成立，则有

$\begin{matrix} (A s i n^{2} χ + B c o s^{2} χ) (κ^{2} - τ^{2}) - \frac{1}{2} [(A s i n^{2} χ + B c o s^{2} χ) κ^{2} + C (τ + χ_{s} - ω_{3}^{0})^{2}] + \\ C (2 τ + χ_{s}) (τ + χ_{s} - ω_{3}^{0}) = 0 \end{matrix}$

(33)

$\frac{d}{d s} (χ_{s}) - \frac{1}{2} (A - B) κ^{2} s i n^{2} χ = 0$

(34)

对于一种给定构象的DNA分子链，例如Z⁃DNA，其χ_s的值必定为一定值。因此，它的扭率ω₃ (ω₃=τ+χ_s)也为一常值，且A≠B、κ≠0，则方程(34)有

$s i n χ c o s χ = 0 χ = j \frac{π}{2} (j = 0,1, 2, \dots)$

(35)

将式(35)代入式(33)可得

$\begin{matrix} A κ^{2} - τ^{2} (2 A - 3 C) - C ω_{3}^{0} (2 τ + ω_{3}^{0}) = 0 \\ j = 1,3, 5, \dots \end{matrix}$

(36)

$\begin{matrix} B κ^{2} - τ^{2} (2 B - 3 C) - C ω_{3}^{0} (2 τ + ω_{3}^{0}) = 0 \\ j = 0,2, 4, \dots \end{matrix}$

(37)

方程(36，37)形式上相似，区别在于它们中的弯曲项，分别反映了杆对截面不同惯性主轴的弯曲能。然而，基于经典弹性理论，可知物体总会倾向于沿着产生惯性矩小的惯性主轴弯曲。由椭圆截面的弯曲刚度公式

$\begin{matrix} A = E I_{x} = E \int_{S} y^{2} d S = \frac{E π a^{3} b}{4} \\ B = E I_{y} = E \int_{S} x^{2} d S = \frac{E π a b^{3}}{4} \end{matrix}$

(38)

可知A > B。因此，在本文中，只选择方程(37)进行分析。

由于Z⁃DNA为左螺旋的DNA分子链，因此其曲率与挠率分别为

$κ = \frac{r_{0}}{r_{0}^{2} + h^{2}} τ = - \frac{h}{r_{0}^{2} + h^{2}}$

(39)

将式(39)代入方程(37)可得

$B (r_{0}^{2} - 2 h^{2}) + 3 C h^{2} - C ω_{3}^{0} (r_{0}^{2} + h^{2}) [ω_{3}^{0} (r_{0}^{2} + h^{2}) + 2 h] = 0$

(40)

椭圆截面的扭转刚度公式为

$C = G I_{z} = \frac{G π a^{3} b^{3}}{a^{2} + b^{2}}$

(41)

令b=ka，k为尺度参数，并将式(38，41)代入方程(40)，有

$\frac{1}{k^{2}} (r_{0}^{2} - 2 h^{2}) + \frac{2}{(1 + ν) (1 + k^{2})} \{3 h^{2} - ω_{3}^{0} (r_{0}^{2} + h^{2}) [ω_{3}^{0} (r_{0}^{2} + h^{2}) + 2 h]\} = 0$

(42)

以r₀为未知量，h为已知量，由方程(42)可解出四组解

$\begin{matrix} r_{0} = - {- h^{2} - \frac{h}{ω_{3}^{0}} - \frac{1 + ν}{4 (ω_{3}^{0})^{2}} - \frac{1 + ν}{4 k^{2} (ω_{3}^{0})^{2}} - \frac{1}{4 k^{2} (ω_{3}^{0})^{2}} {[1 + k^{2} + ν + k^{2} ν + 4 k^{2} ω_{3}^{0} h + 4 k^{2} \times \\ (ω_{3}^{0})^{2} h^{2}]^{2} - 16 k^{2} (ω_{3}^{0})^{2} [(- 1 + 2 k^{2} - ν - k^{2} ν) h^{2} + 2 k^{2} ω_{3}^{0} h^{3} + k^{2} (ω_{3}^{0})^{2} h^{4} {]}}^{1 / 2}}^{1 / 2} \end{matrix}$

(43)

$\begin{matrix} r_{0} = {- h^{2} - \frac{h}{ω_{3}^{0}} - \frac{1 + ν}{4 (ω_{3}^{0})^{2}} - \frac{1 + ν}{4 k^{2} (ω_{3}^{0})^{2}} - \frac{1}{4 k^{2} (ω_{3}^{0})^{2}} {[1 + k^{2} + ν + k^{2} ν + 4 k^{2} ω_{3}^{0} h + 4 k^{2} \times \\ (ω_{3}^{0})^{2} h^{2}]^{2} - 16 k^{2} (ω_{3}^{0})^{2} [(- 1 + 2 k^{2} - ν - k^{2} ν) h^{2} + 2 k^{2} ω_{3}^{0} h^{3} + k^{2} (ω_{3}^{0})^{2} h^{4} {]}}^{1 / 2}}^{1 / 2} \end{matrix}$

(44)

$\begin{matrix} r_{0} = - {- h^{2} - \frac{h}{ω_{3}^{0}} - \frac{1 + ν}{4 (ω_{3}^{0})^{2}} - \frac{1 + ν}{4 k^{2} (ω_{3}^{0})^{2}} + \frac{1}{4 k^{2} (ω_{3}^{0})^{2}} {[1 + k^{2} + ν + k^{2} ν + 4 k^{2} ω_{3}^{0} h + 4 k^{2} \times \\ (ω_{3}^{0})^{2} h^{2}]^{2} - 16 k^{2} (ω_{3}^{0})^{2} [(- 1 + 2 k^{2} - ν - k^{2} ν) h^{2} + 2 k^{2} ω_{3}^{0} h^{3} + k^{2} (ω_{3}^{0})^{2} h^{4} {]}}^{1 / 2}}^{1 / 2} \end{matrix}$

(45)

$\begin{matrix} r_{0} = {- h^{2} - \frac{h}{ω_{3}^{0}} - \frac{1 + ν}{4 (ω_{3}^{0})^{2}} - \frac{1 + ν}{4 k^{2} (ω_{3}^{0})^{2}} + \frac{1}{4 k^{2} (ω_{3}^{0})^{2}} {[1 + k^{2} + ν + k^{2} ν + 4 k^{2} ω_{3}^{0} h + 4 k^{2} \times \\ (ω_{3}^{0})^{2} h^{2}]^{2} - 16 k^{2} (ω_{3}^{0})^{2} [(- 1 + 2 k^{2} - ν - k^{2} ν) h^{2} + 2 k^{2} ω_{3}^{0} h^{3} + k^{2} (ω_{3}^{0})^{2} h^{4} {]}}^{1 / 2}}^{1 / 2} \end{matrix}$

(46)

由于式(43，44)中的r₀为复数根，式(45)中r₀的值为负，而螺旋半径r₀必为正实数。因此，式(46)才是方程(42)的实数解。取ν=0.23, $ω_{3}^{0}$ =1.38 nm^-1[

15]，且已知Z⁃DNA的r₀/h =1.24（见表1），代入方程(42)，可解出弹性细杆模型的椭圆截面尺度参数k=0.141。由此可以拟合出椭圆截面弹性细杆的r₀⁃h曲线图，如图2所示。而由图中实线可知，基于方程(46)得到的r₀/h值并不是常数，但当h的取值范围在区间(0.2, 0.7)^{[参考文献 27
查找原文}27]时，两条曲线的偏差很小，几乎重合。因此，在此区间内，椭圆截面的弹性细杆模型仍能很好描述Z⁃DNA的几何构象。

图2 椭圆截面的弹性细杆描述Z⁃DNA的r₀⁃h曲线图

Fig.2 r₀ versus h curves of Z⁃DNA

3 结论

本文采用了分析力学的方法，从能量角度出发，以曲线的变分为基础，推导出能量密度函数依赖于曲率、挠率、截面的扭转角及其一阶导数DNA弹性曲杆的Euler⁃Lagrange方程组。在此基础上，采用了弹性细杆模型模拟了A⁃，B⁃，Z⁃DNA的r⁃h曲线，讨论了弹性细杆模型描述3种DNA几何构型的可行性。通过与实验数据进行了对比可以发现，给定合适的曲率κ、挠率τ、扭转角χ，圆截面弹性细杆模型可以很好地模拟A⁃DNA和B⁃DNA的平衡几何构型；而由于Z⁃DNA结构的特殊性，选用了椭圆截面弹性细杆模型对其进行模拟，通过计算可以发现，当椭圆截面的长宽比k=0.141时，椭圆截面的弹性细杆模型可以很好描述Z⁃DNA的几何构象。本文的研究内容有望为DNA分子构型的研究与探索提供一定的理论基础与应用指导。

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基于DNA弹性细杆模型的Euler⁃Lagrange方程 PDF

摘要

关键词

1 DNA螺旋杆的Euler⁃Lagrange方程

2 计算与分析

3 结 论

参考文献

3 结论