2013年1月22日“地球透镜”俄罗斯科研卫星被一小块质量仅0.08 g的空间碎片击中，其自旋速度产生巨大改变，轨道半径改变近120 m。空间碎片对飞行器安全构成了巨大的威胁^[1-3]，目前对其监督和防御已引起了世界范围的关注^{[1, 4]}。包括美国、俄罗斯、欧盟、中国、日本在内的多国已经建立起了空间监督网(Space surveillance networks, SSN)，中国也已建立了空间碎片项目(Space debris program, SDP)，并且已经在天宫一号和嫦娥三号任务中确保了航天器的飞行安全。

激光测距技术因为其高亮度、单色性好以及方向性佳的特点已经成为一种重要的空间碎片监督和测量的方法^{[2, 4-6]}。对于空间碎片这种非合作式目标，因为其漫反射特性，获取足够的测距样本并非易事。近年来，高重复率激光器的发展使得获取大样本成为可能。千赫兹激光器可以帮助提高对空间碎片的测距精度。一些著名的激光测距站点，包括Graz (Austria) ^[7], SLR2000 (USA)^[8], Herstmonceux (UK)^[9], Shanghai (China)^[10]，现已具备获得大样本量的能力。

空间碎片测距需要世界范围内的合作。当碎片不在站点的观测视野范围内时，需其他站点的合作测距。但是由于高重复率激光测距成本的限制，并非所有站点都具备高重复率激光测距能力。普通站点的测距样本往往比较小。激光测距精度和样本量是评价激光测距系统性能的重要指标^{[7, 9, 11-15]}。多站合作测距的可行性分析需要首先评价测距精度和不同样本量的关系，样本量受限于激光发射重频。对于高重复率激光测距系统，在获得的大样本里面有部分样本点对于提高精度是不需要的，也就是说，有许多冗余的样本点。尽管如此，高重复率激光测距样本点变化的研究结果可以用在普通测距系统中。基于这种考虑，本文研究了样本量对于测距精度的影响，并给出了选择激光重复率的最小样本量。

1 高重复率取样 1.1 高重复率激光测距系统

如图 1所示为高重复率激光测距系统框图。激光脉冲由高重复率激光器产生，并通过望远镜系统发射。经空间碎片反射回的脉冲穿过大气被接收系统接收。经过此系统可以获得较大的样本量，其中大样本中存在大量的噪声^{[9, 11]}。这些直接观测到的样本称之为预样本。

1.2 基于先验信息的数据预处理

预样本中大部分为由大气散射或仪器暗电流引起噪声样本，需要预处理去噪。对激光测距，跟踪到的空间碎片的先验信息可以用于预样本的数据预处理^[10-11]。通过图 1系统探测到的空间碎片，其6根轨道根数如下

$ \hat e = \hat e\left( {a,e,i,\mathit{\Omega },w,M} \right) $

(1)

式中，a为半长轴，e为偏心率，i为轨道倾角，Ω为升交点，w为近地点角，M为平近点角。

$ \hat e$ 可以通过国际激光测距服务组织(International laser ranging services, ILRS)下载得到，并随取样时间而相应变化。由此碎片距离的先验信息R_pri可以通过下式获得^[13]

$ \mathit{\boldsymbol{R}} = a\left( {\cos E - e} \right)\hat p + a\sqrt {1 - {e^2}} \sin E\hat Q $

(2)

$ \begin{array}{l} \hat p = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\hat p}_x}}\\ {{{\hat p}_y}}\\ {{{\hat p}_z}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {\cos \Omega \sin w - \sin \Omega \sin w\cos i}\\ {\sin \Omega \cos w + \cos \Omega \sin w\cos i}\\ {\sin w\sin i} \end{array}} \right]\\ \hat Q = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\hat Q}_x}}\\ {{{\hat Q}_y}}\\ {{{\hat Q}_z}} \end{array}} \right] = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} { - \cos \Omega \sin w - \sin \Omega \cos w\cos i}\\ { - \sin \Omega \sin w + \cos \Omega \cos w\cos i}\\ {\cos w\sin i} \end{array}} \right] \end{array} $

(3)

式中E为高角。根据先验信息获取预样本残差

$ {R_{{\rm{res}}}} = {R_{{\rm{obs}}}} - {R_{{\rm{pri}}}} $

(4)

设置接收阈值η，获得准样本：

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \begin{array}{l} \left| {{R_{{\rm{res}}}}} \right| \le \eta \\ \left| {{R_{{\rm{res}}}}} \right| > \eta \end{array}&\begin{array}{l} {\rm{Accept}}\;{R_{{\rm{res}}}}\\ {\rm{Reject}}\;{R_{{\rm{res}}}} \end{array} \end{array}} \right. $

(5)

根据轨道先验信息，预样本中大部分噪声被剔除，获得准样本，如图 2所示。准样本量用n_qua来表示，用以后续计算测距内符合精度。

1.3 多项式拟合去噪

激光测距的测距精度通常用拟合标准差(Standard, STD) σ来表示，也就是用3 σ迭代去噪后最终的多项式拟合均方根来表示^{[7, 9, 11]}。有效样本量由图 3所示多项式拟合得到。

经过去噪过程，最终获得有效样本(此后简称为样本)，样本量表示为n_eff。所有其他的从准样本中剔除的噪声为噪声样本。对空间碎片而言，噪声样本量往往比有效样本高两个数量级。

2 样本量的下降过程

为研究样本量对精度的影响，实施下降过程。样本量n_eff每次减小一小步长Δn，得到相应精度的退化结果^{[12, 14-15]}。定义的内服和精度(Root mean square, RMS)通过下降过程所有准样本来计算，并且如图 4所示，多项式拟合和3σ迭代也应用在每一步下降过程中。不同的样本量将会影响到多项式拟合的参数和用于估计RMS的n_qua

$ {n_{{\rm{eff}}}} = {n_{{\rm{eff}}}} - \Delta n $

(6)

$ {n_{{\rm{qua}}}} = {n_{{\rm{qua}}}} - \Delta n $

(7)

多项式函数如下所示

$ {R_{{\rm{res}}\;i}} = {a_0} + {a_1}{t_i} + {a_2}t_i^2 + \cdots $

(8)

式中t_i是取样时间，a_i是多项式系数。拟合值和观测值的误差为

$ {{\Delta '}_i} = {R_{{\rm{res}}\;i}} - \left( {{{\hat a}_0} + {{\hat a}_1}t + {{\hat a}_2}{t^2} + \cdots } \right) $

(9)

多项式拟合的STD为

$ \sigma = \sqrt {\left( {\sum {{{\left( {{{\Delta '}_i}} \right)}^2}} } \right)/\left( {{n_{{\rm{qua}}}} - 1} \right)} $

(10)

运用3σ迭代去除准样本中误差过大的点。在此，终止阈值δ用来获得最终的STD，该值即为测距精度RMS。整个下降过程如图 4所示。

当有效样本量减小为0时，RMS将变很大，因为此时样本中只含有噪声。样本量下降过程结束后，通过一组(n_eff, RMS)可以获得精度随样本量变化的关系，得到样本量的影响，从而获得样本量的最小值。

3 实验

本文中，对于某些空间碎片(分别为A, B, C, D)的取样通过高重复率激光测距系统完成，改变样本量后相应的结果和分析如下。

3.1 下降过程

样本量的减小反应测距系统状态的退化。样本量下降过程以每一步长进行。根据式(6，7)，样本量的下降曲线如图 5所示。

因为下降步长Δn远小于准样本量n_qua，下降过程大致呈现出线性变化。也就是分母(n_eff -Δn) / (n_qua -Δn)可以近似表示为n_qua，下降过程中计算出每一次样本量改变的RMS。

$ \begin{array}{l} \left( {{n_{{\rm{eff}}}} - \Delta n} \right)/\left( {{n_{{\rm{qua}}}} - \Delta n} \right) \approx \left( {{n_{{\rm{eff}}}} - \Delta n} \right)/{n_{{\rm{qua}}}}\\ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\Delta n \ll {n_{{\rm{qua}}}} \end{array} $

(11)

3.2 RMS随样本量的变化关系

在高重复率取样的基础上，经过去噪和样本量下降过程，可以得到RMS随样本量n_eff的变化曲线，不同碎片的实验结果如图 6所示，可以看到样本量对于测距精度的影响。

从图 6可见，当样本量n_eff逐渐下降时，RMS并未呈现出缓慢上升的趋势，而是呈现“跳跃”式变化。在样本量下降到阈值之前，RMS基本保持不变。阈值所在处，是满足精度要求(认为精度变化在20%以内)的最小样本量。从曲线中可以观察到若干个阈值，但是只有满足精度要求的阈值所在的样本量有意义(也就是说，从大样本往小样本变化的过程中，只有第一个遇到的阈值才是真正满足测距要求的有意义的阈值)。统计结果如表 1所示。

上述结果显示，对于碎片的激光测距最小样本量大约为125，主要取决于大气传输特性。满足测距要求的样本量获得降低，降低量Δn_eff / n_qua大约为30%—60%。样本中的噪声大致满足正态分布^[7]，对于不同的重复频率是相同的，所以重复频率的降低主要取决于有效样本量的降低(假设激光重复率为1 kHz时准样本量为1 000，其中有900个样本为噪声样本，100个是有效样本。当有效样本量从100降低为50时，剩余的900噪声样本的作用和450噪声样本的作用几乎相同，因为噪声均满足正态分布。所以只需要500 Hz的激光重复率就可以获得总工(50+450)个准样本点)。由此，根据取样频率和样本量的大小关系，可以使高重复率激光测距系统的重复率下降30%—60%。

4 结论

本文对空间碎片激光测距样本量进行了统计分析，并介绍了高重复率激光测距的取样过程和去噪过程。通过下降过程研究了样本量对测距精度的影响。从二者变化关系曲线的阈值中可以获得满足测距精度要求的最小样本量，并通过上海天文台对于若干激光测距的实验进行了验证。考虑到系统和传输过程噪声服从正态分布，根据最小样本量得到了激光测距系统的重复频率可以下降30%—60%。

由于并非所有激光测距站点都具备高重复率激光测距能力，故测距重复率的选择对于空间碎片多站合作激光测距具有重要意义。本文对样本量和测距精度之间关系的研究，验证了普通测站在满足精度要求的情况下以更低重复率进行激光测距的可能性。此外，获得的激光测距小样本量有助于降低空间碎片激光测距的成本。