电力系统作为重要的基础设施，稳定性一直是安全运行的基本要求，随着电力系统规模越来越大，如何保证电力系统安全、稳定和高效的运行一直是电力系统的研究重点和难点。电力系统属于复杂非线性系统，其突出特点表现在它的强非线性和结构工程的多变性^[1]。电力系统稳定性^[2]包括功角稳定、频率稳定和电压稳定。励磁控制器的优势在于^[3]：系统稳定运行时，励磁电流时刻跟随负荷变化从而控制机端电压；通过控制励磁电流来控制无功功率以及功率角的变化；当系统受到扰动时，提高系统静态功率稳定和改善系统暂态稳定等。为解决这些稳定性问题，文献[4~5]指出，通过对励磁控制系统增加适当的控制，可以有效改善电力系统在干扰信号下的稳定性。文献[6]提出了两相无刷励磁机励磁电流的反馈控制、励磁频率和相序的速度参考控制，并通过仿真充分证明了其有效性。因此，如何设计高效励磁控制器成为了电力系统工作者研究的重点。

近年来，平方和理论发展迅速^[7]，文献[8]提出了一种保证系统全局非负定性的方案。多项式函数正定性的一个充分条件是可表示为平方和形式，而存在平方和分解等价于半定规划可行性问题。而SOSTOOL^[8]正是解决这类问题的有力工具。平方和技术的发展，为多项式非线性系统控制器设计提供了新的思路。如文献[9]将贝尔曼等式松弛为不等式，通过求解平方和规划求出解。由于平方和方法的成功，其应用越来越广。在缺乏系统动态信息的情况下，文献[10]提出了一种基于平方和的全局半定规划方法，利用在线数据求解哈密顿-雅克比-伊萨克等式(Hamilton-Jacobi-Isaacs，HJI)。在平方和方法中，多项式系数是根据最小逼近误差原理确定的，这些系数在平方和可行凸集合中受到约束，从而保证了结果的非负定性。文献[11]将平方和方法用在分析多机电力系统稳定性上，并进一步优化，估计电力系统的吸引域。然而，文献[11]并没有将平方和方法应用到控制中。对于H_∞最优控制问题，平方和方法应用很少，特别是在电力系统方面，因此，本文尝试将平方和方法应用于励磁控制器设计中。本文针对单机无穷大电力系统，通过泰勒方法，将非多项式系统转化为适用于平方和方法的多项式系统，同时保留了高阶无穷小项，并考虑系统建模时参数不确定性，重新定义干扰信号。由于平方和方法在构造Lyapunov函数、控制器参数优化等方面的优势，可以很好地将HJI等式问题松弛为不等式约束表示的最优问题，结合策略迭代方法，解决了长期以来求解HJI难的问题。最后通过仿真实验，验证了本文方法具有较强的鲁棒性和工程可实现性。

1 系统模型及问题描述

随着控制理论的不断发展，电力系统励磁控制模型也不断变化^[12-13]。电力系统的不确定性包括很多因素，如参数不确定性、外界干扰(故障)等。所以在设计过程中应充分考虑这些不确定因素，设计出具有鲁棒性的励磁控制系统。这样不仅能够有效地保证系统安全、高效和稳定运行，而且能够提高系统运行的经济效益。

1.1 单机无穷大电力系统模型

考虑三阶单机无穷大电力系统模型，同时考虑各种因素带来的不确定性，以干扰信号的形式在模型中体现，则三阶无穷大电力系统模型用微分方程的形式表示为

$ \begin{array}{l} \dot \delta = \omega \\ \dot \omega = \frac{{{\omega _0}}}{H}\left( {{P_m} - {P_e}} \right) - \frac{D}{H}\omega + {{\tilde d}_1}\\ {{\dot E'}_q} = - \frac{{{{E'}_q}}}{{{T_{d0}}}} + \frac{{{x_d} - {{x'}_d}}}{{{T_{d0}}{x_{ds}}}}{V_s}\cos \delta + \frac{{{E_f}}}{{{T_{d0}}}} + {{\tilde d}_2} \end{array} $

(1)

式中:P_e=E′_qV_ssinδ/x_ds；$\tilde d$₁为发电机转轴上的力矩干扰；$\tilde d$₂为发电机的机电干扰；其他符号的物理含义见文献[12]。此时

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{P_m} - \frac{{{{E'}_{q0}}{V_s}\sin {\delta _0}}}{{{{x'}_{ds}}}} = 0}\\ { - \frac{{{{E'}_{q0}}}}{{{T_{d0}}}} + \frac{{\left( {{x_d} - {{x'}_d}} \right){V_s}\cos {\delta _0}}}{{{T_{d0}}{{x'}_{ds}}}} + \frac{{{E_{f0}}}}{{{T_{d0}}}} = 0} \end{array} $

(2)

式中：δ₀为稳态时的发电机转子运行角；E′_q0为发电机稳态电势，由于后面小节所述平方和方法只适用于多项式系统，因此在这里通过泰勒公式展开为多项式。令x₁=δ－δ₀, x₂=ω, x₃=E′_q－E′_q0, u=E_f－E_f0，展开整理可得

$ \begin{array}{l} \begin{array}{*{20}{c}} {{{\dot x}_1} = {x_2}}\\ {{{\dot x}_2} = - \frac{{{\omega _0}}}{H}\left( {\frac{{{V_s}\sin {\delta _0}}}{{{x_{ds}}}}{x_3} + \frac{{{{E'}_{q0}}{V_s}}}{{{x_{ds}}}}{x_1}} \right) - \frac{D}{H}{x_2} + {d_1}\left( t \right)} \end{array}\\ {{\dot x}_3} = - \frac{1}{{{T_{d0}}}}{x_3} - \frac{{{x_d} - {{x'}_d}}}{{{T_{d0}}{x_{ds}}}}{V_s}\sin {\delta _0}{x_1} + {d_2}\left( t \right) \end{array} $

(3)

式中:d₁=$\tilde d$₁+o(x₁x₃), d₂=$\tilde d$₂+o(x₁), o(x₁x₃)和o(x₁)分别为泰勒原理展开剩余的高阶无穷小项，不同于其他文献线性化方法，在这里充分考虑了线性化过程中产生的误差，保留了高阶无穷小项。u是待设计的励磁控制器。式(3)写成一般仿射非线性多项式系统形式为

$ \mathit{\boldsymbol{\dot x}} = \mathit{\boldsymbol{f}}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) + \mathit{\boldsymbol{g}}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right)\mathit{\boldsymbol{u}} + \mathit{\boldsymbol{k}}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right)\mathit{\boldsymbol{d}} $

(4)

式中：$\begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{x = }}\left[\begin{array}{l} {x_1}\\ {x_2}\\ {x_3} \end{array} \right] \in {{\bf{R}}^3}, \mathit{\boldsymbol{f}}{\rm{(}}\mathit{\boldsymbol{x}}{\rm{) = }} \end{array}$$\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} -\frac{{{\omega _0}}}{H}\left( {\frac{{{V_s}{\rm{sin}}{\delta _0}}}{{{x_{ds}}}}{x_3} + \frac{{{{E'}_{q0}}{V_s}}}{{{x_{ds}}}}{x_1}} \right)-\frac{D}{H}{x_2}\\ \;\;\;-\frac{1}{{{T_{d0}}}}{x_3} - \frac{{{x_d} - {{x'}_d}}}{{{T_{d0}}{x_{ds}}}}{V_s}{\rm{sin}}{\delta _0}{x_1} \end{array} \right], \mathit{\boldsymbol{g}}{\rm{(}}\mathit{\boldsymbol{x}}{\rm{) = }} \left[{\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 0\\ {1/{T_{d0}}} \end{array}} \right], \mathit{\boldsymbol{k}}(\mathit{\boldsymbol{x}}) = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} 0&0\\ 1&0\\ 0&1 \end{array}} \right], \mathit{\boldsymbol{d}}{\rm{(}}\mathit{t}{\rm{) = }}\left[\begin{array}{l} {d_1}\\ {d_2} \end{array} \right] \end{array}$是干扰信号，u为控制输入。系统经验证满足零状态可观性；同时式(4)中f(x), g(x), k(x)满足Lipschitz连续条件且f(0)=0。另设z=h(x)=x^Τ为输出，显然h(0)=0。

1.2 问题描述

本文的目标是结合平方和方法以及策略迭代技术设计出H_∞最优励磁控制器u，使其满足

$ \int_0^T {\left( {{{\left\| {\mathit{\boldsymbol{z}}\left( t \right)} \right\|}^2} + {\mathit{\boldsymbol{u}}^2}\mathit{\boldsymbol{Ru}} - \gamma _0^2{{\left\| {\mathit{\boldsymbol{d}}\left( t \right)} \right\|}^2}} \right){\rm{d}}\left( t \right)} \le 0 $

(5)

式中:T≥0, $\forall $d(t)∈L₂(0, T)，x(0)=0, γ₀为正常数。如果式(5)成立，则称式(4)的L₂增益为${\tilde \gamma }$，且${\tilde \gamma }$≤γ₀^[12]。

从H_∞最优控制角度考虑，希望找到符合要求的γ₀越小越好，其最小值记为γ^*，以及对应的最优控制器记为u。理想的最优值γ^*意味着电力系统的抗干扰能力更加强大：系统遭受到外界扰动(故障)时，在最优励磁控制器的调节作用下，能够更快速、更高效地收敛到工作点运行。文献[14]指出，对于给定的γ₀，L₂-增益问题可解的充分条件是存在光滑正定函数V使得下述HJI方程可解。

$ \begin{array}{l} {\left( {\nabla V} \right)^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{f}} - \frac{1}{4}{\left( {\nabla V} \right)^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{g}}{\mathit{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{g}}^{\rm{T}}}\left( {\nabla V} \right) + \frac{1}{{4\gamma _0^2}}{\left( {\nabla V} \right)^{\rm{T}}}\\ \;\;\;\;\;\;\mathit{\boldsymbol{k}}{\mathit{\boldsymbol{k}}^{\rm{T}}}\nabla V + {\left\| \mathit{\boldsymbol{h}} \right\|^2} = 0,V\left( \mathit{\boldsymbol{0}} \right) = 0 \end{array} $

(6)

式中：相应的H_∞励磁控制器u(x)=－(1/2)R^－1g^Τ(x)$\nabla $V(x)。由此可见，如何求解HJI等式至关重要。文献[14~15]曾提出一种有效求解非线性HJI等式的方法，称为策略迭代，具体包括以下两个步骤：

步骤1  决策评估为

$ \begin{array}{l} {\left( {\nabla {V_i}} \right)^{\rm{T}}}\left( {\mathit{\boldsymbol{f}} + \mathit{\boldsymbol{g}}{\mathit{\boldsymbol{u}}_i}} \right) + \frac{1}{{4\gamma _0^2}}{\left( {\nabla {V_i}} \right)^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{k}}{\mathit{\boldsymbol{k}}^{\rm{T}}}\nabla {V_i} + \\ {\left\| \mathit{\boldsymbol{h}} \right\|^2} + \mathit{\boldsymbol{u}}_i^{\rm{T}}\mathit{\boldsymbol{R}}{\mathit{\boldsymbol{u}}_i} = 0,{V_i}\left( \mathit{\boldsymbol{0}} \right) = {\bf{0}} \end{array} $

(7)

步骤2  决策改进为

$ {\mathit{\boldsymbol{u}}_{i + 1}}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) = - \frac{1}{2}{\mathit{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{g}}^{\rm{T}}}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right)\nabla {V_i}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) $

(8)

式中V_i为求解u_i+1的候选李亚普诺夫函数。

然而，由于电力系统属于一类非线性非多项式系统，手工迭代计算量较大，造成V难以求解；其次，扰动抑制率γ₀需要提前给定，而仅依靠经验选择γ₀，不仅无法保证HJI等式可解，而且易产生较大的保守性，即在电力系统受到较大的故障扰动(如三相短路故障等)时，所设计的控制系统难以有效发挥作用，严重时甚至可能造成系统崩溃。

本文研究一类电力系统的H_∞最优励磁控制设计问题，主要特点包括：(1)充分考虑了各种参数不确定性和外界扰动对系统的影响，且未限定扰动信号的具体形式(如上、下界等)，具有一般性；(2)未对系统模型进行任何处理，保留了原系统的非线性特性；(3)采用基于平方和方法的策略迭代，将最小化扰动抑制率γ作为优化目标，降低了设计的保守性，每次迭代都是求解半定规划可行性问题的过程。

2 H_∞最优控制方法

将式(6)等效为

$ \gamma _0^2{\left\| {\mathit{\boldsymbol{d}} - \frac{1}{{2\gamma _0^2}}{\mathit{\boldsymbol{k}}^{\rm{T}}}\nabla V} \right\|^2} - \mathit{\Gamma }\left( {V,\mathit{\boldsymbol{u}},{\gamma _0}} \right) = 0 $

(9)

式中：Γ(V, u, γ₀)=－($\nabla $V)^Τ(f+gu+kd)－u^ΤRu－‖h‖²+γ₀²‖d‖²。从式(9)能够明确地看出Γ(V, u, γ₀)≥0，这对于设计出励磁控制器至关重要。

引理1^[13]  对$\forall $x和$\forall $d，如果存在V(x)和u(x)使得

$ \begin{array}{*{20}{c}} {V\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) \ge 0}\\ {\mathit{\Gamma }\left( {V,\mathit{\boldsymbol{u}},{\gamma _0}} \right) \ge 0} \end{array} $

则u(x)为H_∞最优励磁控制器。

根据引理1，基于平方和方法和策略迭代技术，通过迭代求解多项式优化问题的方式，以最终获得H_∞最优控制问题式(5)的解。如图 1所示，求解过程包括内外两层，其中外层循环使用上角标j表示，用来求解最优的扰动抑制率γ^*，而内层循环使用下角标i来表示，用来求解李亚普诺夫函数V以及对应的最优励磁控制器u。

首先，初始化i=j=0，并利用文献[16]提供的方法对初始的V⁽⁰⁾结构(系数待定)，u⁽⁰⁾以及γ₀进行设定，其中V⁽⁰⁾为多项式平方和形式。然后，选择合适的且足够小的正常数ε₁，ε₂。值得注意的是：外循环中优化目标γ应为正数，且应求取最小值，而内循环首先会去求解出符合条件的V，进而将V对状态变量的积分作为目标函数，即∫_ΩVdx，记作INT(V)，并求取其最小值，其中Ω∈R³。最后将前后两次内循环中目标函数差的绝对值作为判断条件。

下面解释阐述该方法的具体步骤：

(1) 初始化满足假设1的u⁽⁰⁾，正常数ε₁, ε₂和确定V的结构。

(2) 令j=0, 1, …, 并令u=u⁽⁰⁾求解下面的平方和程序

$ \begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_\gamma \gamma \\ \mathit{\Gamma }\left( {V,\mathit{\boldsymbol{u}},\gamma } \right)是平方和\\ V\;是平方和 \end{array} $

(10)

可以得到γ^(j)以及V^(j)；

(3) 令i=1, 2, …, γ_i^(j)=γ^(j), V_i^(j)=V^(j)，和u_i^(j)=u^(j)。求解下面的平方和程序，解出符合条件的V

$ \begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_V \int_\mathit{\Omega } {V{\rm{d}}x} \\ \mathit{\Gamma }\left( {V,\mathit{\boldsymbol{u}}_i^{\left( j \right)},\gamma } \right)\\ V_{i - 1}^{\left( j \right)} - V\;是平方和\\ V\;是平方和 \end{array} $

(11)

可以得到V_i^(j)以及目标函数对V的积分记作INT(V)_i^(j)。

(4) 控制决策更新

$ {\mathit{\boldsymbol{u}}_{i + 1}} = - \frac{1}{2}{\mathit{\boldsymbol{R}}^{ - 1}}{\mathit{\boldsymbol{g}}^{\rm{T}}}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right)\nabla V_i^{\left( j \right)}\left( \mathit{\boldsymbol{x}} \right) $

(12)

(5) 判断‖INT(V)_i－1^(j)－INT(V)_i^(j)‖≥ε₁，如果成立，回到步骤(3)，i=i+1；否则停止内循环，并令u=u_i+1^(j)和V=V_i^(j)。

(6) 判断‖γ^(j)－γ^(j－1)‖≥ε₂，如果成立，则回到步骤(2)，j=j+1；若不成立则外循环，该方法结束，输出最优解γ, u以及V。

如果式(6)存在正定光滑解V₀，在满足假设1的条件下，上述方法中式(10)存在非空解，励磁控制器u_i+1是全局稳定控制器，同时，满足Γ(V_i, u_i+1, γ₀)≥Γ(V_i, u_i, γ₀)，由Γ的定义，表明可寻找到更小γ′≤γ⁰，可以提高电力系统在受到扰动时能更好地保证同步的能力，弥补阻尼不足问题，避免出现振荡。目标函数γ保证了在每一次迭代过程中求解出逼近精确解V⁰。随着每次迭代，也更加接近精确解V⁰。同时，求解的极限值V_∞(x)代替精确解V⁰。因而，通过松弛的策略迭代得到的u_∞=－(1/2)R^－1g^T$\nabla $V_∞比其他方法得到的控制器更加接近最优控制器。因此，u_∞保证了在H_∞控制中的有效性。

3 H_∞最优励磁控制设计及仿真结果

使用第2小节介绍的方法，采用状态反馈的形式来设计H_∞最优励磁控制器，使得当电力系统励磁控制模型(1)受到干扰时，能够快速地实现渐进稳定。首先对式(4)进行励磁控制器设计，并计算对应的李亚普诺夫函数以及扰动抑制率γ的最小值。本小节所用到的实验参数如表 1所示。

如第2小节所述，该设计方法包括内外循环，外循环负责求解扰动抑制率γ，判断条件应该选择尽量小，这样求解更为精确，抑制扰动的效果更加好，因此初始化判断条件ε₁=10^－4；而内循环目标函数为李亚普诺夫函数V对状态变量的积分，为了控制内循环的循环次数，与ε₁相比可适当放大判定条件，在这里选择ε₂=10^－2；选择初始励磁控制器u⁽⁰⁾=－0.1x₁+0.1x₂－0.1x₃。最后选择V为V=c₁x₁²+c₂x₁x₂+c₃x₂²+c₄x₁x₃+c₅x₂x₃+c₆x₃², c₁，…，c₆为待定系数。

考虑到实际情况，当系统受到干扰时，发电机功角和暂态电动势应满足在稳定点附近工作，如果偏离太多，可能会造成整个系统的瘫痪，而相对转速的范围可适当选取较大的范围。因此，选择以下集合{x|－0.1 < x₁ < 0.1, －2 < x₂ < 2, －0.1 < x₃ < 0.1}。同时，选择正定矩阵R=1。

对式(4)应用提出的方法，经过5次迭代后，最优值γ为2.509 7，且γ的变化曲线为图 2。从图 2可以明显看出，γ收敛速度比较快，经过第3次迭代后，其变化幅度明显变小。这从实际证明了所述方法能够快速计算出最佳γ。

求解的Lyapunov函数V=37.71x₁²－0.012 06x₁x₂+0.623 2x₁x₃+2.401x₂²－1.968x₂x₃+0.407 6x₃²，与之对应的H_∞励磁控制器u⁽⁵⁾=-0.085 37x₁+0.269 6x₂-0.111 7x₃。

为了验证采用方法的有效性，测试求解的最优励磁控制器作用，将求解的励磁控制器u结合原系统，即式(1)进行2组实验对比。选择式(1)的稳定工作点为为(1.091, 0, 1.1)，选择初始运行点(δ, ω, E′_q)的值为(0.968 7, 0.5, 1.2)。

实验1  小干扰情况下系统仿真

考虑系统存在干扰，包括外部干扰以及建模时的误差干扰，以正弦波的形式加入系统，选择干扰信号为d₁=0.38(1-sin(8t))和d₂=2/t-sint, 同时与经典的PID控制对比得到图 3和图 4的仿真结果。

从图 3可以明显看出，功角δ可以在2 s左右稳定到平衡点，与原平衡点相比，只有0.03 rad的差别，几乎可以忽略不计。与此同时，系统没有出现振荡等不良影响；而对比PID控制，虽然能够稳定系统，但是明显偏离原平衡点。而从图 4显示，相对转速ω能够在2.5 s左右就稳定到稳定工作点，与功角相比，相对转速没有跟踪误差，也没有产生任何振荡现象；而PID控制仿真结果明显产生了振荡幅值在0.006左右的振荡现象。通过对图 3和图 4的分析充分说明，对于小干扰信号，所采用的方法能够设计出有效励磁控制器u且使系统快速稳定到工作点。

实验2  大干扰情况下系统仿真

上面分析了在小干扰信号下系统的状态响应，为充分说明控制器的有效性，将干扰信号幅值放大20倍，其具体形式为d₁=7.6(1-sin(8t))和d₂=40/t-sint，得到图 5和图 6的仿真结果。

从图 5可以明显看出，功角δ可以在2 s左右稳定到平衡点，这与在小干扰信号下其响应时间相同，然而由于干扰信号幅值太大，出现周期性小幅值振荡。而从图 6显示，相对转速ω能够在2.5 s左右就收敛到平衡点，与实验1相比，相对转速ω产生了周期性小幅值振荡。而观察PID控制实验结果，功角与相对转速都出现了明显的振荡现象，控制效果不佳。实验2说明，对于大干扰信号，H_∞最优励磁控制器u同样能够有效抑制大干扰信号，且能快速使系统正常工作。

通过实验1和实验2, 证明了采用本文设计的励磁控制器能够有效抑制各种干扰信号，同时使得系统快速稳定到平衡点，使得系统能够安全、稳定工作。

4 结束语

本文针对单机无穷大电力系统，提出了一种基于平方和方法的策略迭代H_∞励磁控制器设计方法。为了使平方和方法适用于电力系统励磁控制器设计，利用泰勒展开将系统处理为多项式系统，并将高阶无穷小项加以考虑，重新定义干扰信号为d，提高了控制器对参数不确定性的鲁棒性。通过对系统的适当假设和处理后，本文方法使用内-外循环的迭代方式。在给定扰动抑制率γ的情况下，内层循环迭代通过求解HJI不等式得出Lyapunov函数以及对应的全局稳定励磁控制器；而外层循环迭代则可求解出最优扰动抑制率γ值，极大地提高了系统的抗干扰能力。最后的仿真实验表明，本文设计的励磁控制器可以在系统持续受到干扰信号的影响下，功角δ、相对转速ω快速稳定到工作点。由于设计过程中没有考虑干扰信号d的具体形式，因此本文方法对参数不确定性、建模误差和测量噪声在鲁棒性能上的提升效果明显。文中所述方法基于平方和理论，因此对于电力系统等非线性非多项式的应用提出了挑战；其次，繁重的计算负担也限制了平方和的应用。因此，平方和理论的发展成为克服这些问题的关键。