变压器是电压转换、电能分配与传输的重要节点，它作为电力系统中的枢纽设备，其运行状态直接关系着局部电力网络的安全。因此，变压器的故障预测诊断研究具有非常重要经济意义。

尽管目前已有大量的智能诊断技术应用于变压器故障诊断研究，但新的理论和实践结果表明，这些诊断方法仍然存在许多不足之处：文献[1]提出基于动量梯度下降的BP神经网络诊断方法，其优势在于自学习、鲁棒性等固有性质，但所提方法仍然存在局部最优、收敛慢以及训练阶段需要足量历史样本等问题；文献[2]提出一种鱼群算法优化的粗糙集诊断方法，能够较好地处理信息不完备条件下的诊断，但这种方法不能解决多重故障的诊断问题；文献[3]提出小波变换和支持向量机(Support vector machine，SVM)相结合的电路故障诊断方法，其利用核主元分析法降维后诊断故障模式，这种方法很好地处理了具有重叠程度的故障类别，然而文中没有明确给出所使用的SVM模型，诊断结果的可靠性无法验证；文献[4]提出粗糙集和支持向量机相结合的故障诊断模型，引入特征属性预处理，提高了诊断效率，但是文中所用“一对一”SVM难以避免分类盲区的出现。文献[5]提出一种基于DAG-SVM的发电机组故障诊断方法，较好地解决了样本少、样本不均衡以及拒分等问题，但是该方法没有考虑样本特征属性间的冗余，增加了算法在参数寻优和模型诊断上的时间/空间成本。文献[6]提出一种“1 vs R”的DAG-SVM模型，减少了SVM分类器的个数，但是该方法延长了决策时间，并且所提模型也不能解决“1 vs R”法带来的分类面偏移问题。

通过对电力变压器故障状况和智能诊断技术的充分了解，目前SVM方法在诊断中具有一定的优势，但是基于SVM的不同模型也存在某些不足，因此需要与其他方法相结合以提升诊断能力。文献[7]建立了粗糙集和遗传算法集成的贷款违约判别模型，在简化特征属性的基础上实现了二分类下的信用风险评估；文献[8]提出粗糙集和支持向量机相结合的信用风险评估模型，解决了信贷过程中的违约评估问题，但是该方法仅面向基本的二分类问题，在解决多分类问题中需要进行一定的扩展和改进。

在了解电力变压器故障诊断的基础上，通过深入理解粗糙集理论和支持向量机的原理和不同组合形式，本文提出了差异化的粗糙集属性约简和DAG-SVM相结合的故障诊断方法。利用差异化的属性约简提取两类特定故障的特征属性，找到它们对应的相关特征向量，消除冗余特征，并基于此建立了多个样本分布均衡的二分类SVM分类器，最后根据决策风险最小化原则构建DAG-SVM分类机。最后，本文给出了该方法的具体实现和诊断过程，并通过实例验证了该方法的有效性。

1 粗糙集理论及支持向量分类机

在智能诊断技术中，粗糙集理论因其属性约简能力而在消除特征冗余方面得到较多应用，从最初的二分类扩展到多分类的故障诊断领域^[9]；支持向量机因在处理小样本、非线性等问题方面的优势也向多分类领域扩展，并且在故障诊断中得到了广泛应用^[10]。

1.1 粗糙集属性约简

在决策信息系统中^[11]，条件属性与决策结果之间存在知识上的某种非线性联系，智能方法能够通过对特征属性的分析找出数据间的映射关系，比如神经网络、SVM等。但是，决策分析过程并不依赖所有的条件属性，为此需要通过预处理消减冗余属性，找到能够与决策相关的特征属性，即：属性约简。简言之，属性约简就是找到一个约简属性集B⊆C，简化信息系统的决策规则。

定义1  在粗糙集理论中，元组S=(U, A, V, f)是信息系统，其中U为论域，A=C∪D为属性集，C表示条件属性，D表示决策属性，知识表达系统S成为决策表。

定义2  对于B⊆C，如果B是D独立的，且(B, D)和(C, D)具有相同的分辨能力，则B是C的一个相对约简。

属性约简是一个NP-Hard问题，它主要用于获取信息系统中主要影响决策结果的相关特征属性。粗糙集理论由于不需要数据以外的任何先验知识，且能够解决数据不完备的问题而备受关注，众多学者从不同角度提出了属性约简的方法^[12-13]。其中，数学家Skowron等提出了一种利用差分矩阵求解信息系统约简属性的方法^[14]，差分矩阵M＝m_{i, j}的定义如下

$ {m_{i,j}} = \left\{ \begin{array}{l} {a_k}|{a_k}({x_i}) \ne {a_k}({x_j})\;\;d\left( {{x_i}} \right) \ne d\left( {{x_j}} \right)\\ \emptyset \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;d\left( {{x_i}} \right) = d\left( {{x_j}} \right) \end{array} \right. $

(1)

式中：M为一个对称矩阵，其对角元素均为Ø；m_{i, j}表示差分矩阵中第i行j列的值；a，d分别表示条件属性和决策结果。

Skowron方法的基本思路是，对其行元素和列元素进行逻辑并和交运算，构造区分函数f_M后将其析取得到最简属性集{C_k}，该属性集保留了原信息系统的所有决策信息。

$ {f_M} = \mathop \wedge \limits_{1 \le i,j \le n} \left\{ {\mathop \vee \limits_{{m_{i,j \ne \emptyset }}} {m_{i,j}}} \right\} $

(2)

式中{C_k}为化简为极小析取范式后决策表的约简属性集。

1.2 支持向量分类机

支持向量机是由文献[15]提出的一种针对小样本、非线性样本进行学习分类的机器学习方法。文献[16, 17]给出了标准支持向量机的基本原理以及不同多分类支持向量机的扩展形式。它们基于统计学习理论，利用有限的样本信息进行学习，在模型复杂性和学习能力之间寻求最佳折中，获得了很好的泛化能力。

SVM的分类原理表明其主要用于解决二分类问题，因此要处理变压器故障诊断问题，首先必须进行多分类扩展。目前，多分类支持向量机主要有两种解决方案：一是直接建立多目标分类函数求解，这种方法使用变量多，计算复杂度过高；二是将多分类问题转化为多个二分类问题，主要有投票法、一对余法、层次法和有向无环图支持向量机(DAG-SVM)法等。前面3种方法在拒分盲区、样本均衡等某方面的表现较差，因此需发展DAG-SVM诊断方法。

DAG-SVM分类机综合了二分类SVM的样本均衡性和层次分类机无盲区的特点，在目前的诊断方法中应用较为广泛。对于分类问题，DAG-SVM多分类支持向量机的结构如图 1所示。它利用k(k-1)/2个二分类SVM逐层排布生层次多分类机，该故障诊断分类机在多分类问题中不存在拒分盲区，并且由于每个分类器对应两类样本，样本的均衡性较好，因而具有较好的分类效果。

2 基于约简属性的DAG-SVM

在基于数据驱动的故障诊断研究中，比如变压器、模拟电路、水轮机组等，它们的故障类型可以直接通过大量维数的属性信息进行分析，但是这种方法缺少预处理过程，包含了不必要的特征属性，增加了时间成本。同时，现有粗糙集属性约简和支持向量机结合的文献中，大部分的研究方法都是无差别化的对所有故障数据进行约简，然后通过改进的支持向量机进行诊断。通过对文献[7, 8]的研究可知，目前故障诊断中的属性约简是直接从二类样本扩展而来，而实际上不同样本之间的属性约简是存在差异的。

由于差分矩阵的属性约简方法在故障诊断预处理中，是从所有特征信息中消去那些原始特征属性中冗余的属性。而对某两类样本而言，利用差分矩阵得到的约简属性和整体约简得到的属性集并不相同，因而这种整体约简的方法存在一定的不合理性。因此，本文提出差异化的属性约简，利用差分矩阵进行差异化属性约简，然后将所获特征属性的对应值作为多分类支持向量的输入设计和构建DAG-SVM分类机。

首先是决策信息系统的特征属性提取。对于决策信息系统S(U，R), C和D分别表示特征属性和决策结果，其中任意两种决策结果d₁, d₂及其相应的故障属性依据式(1, 2) 可以得到其对应的差分矩阵并析取得到最简属性集{C_k}。

结论1  在差异化属性约简中，当且仅当决策结果的对应特征属性完全不可区分或者特征属性集中任一属性能完全区分时，保留所有特征属性。

证明：对于d_i, d_j，特征属性集f_M＝Ø，即：当前特征信息不足以区分两类决策结果；特征属性集f_M＝{a₁, a₂, …, a_n}，即：通过∀a_i可以实现d_i和d_j的区分。由于样本自身偶然性，特征属性不可避免具有的缺陷会带来不可知的影响，因此保留所有特征属性。

通过差异化属性约简提取了故障间特征属性，进而利用SVM二分类的分类能力构造多个分类器，为建立DAG-SVM分类机建立基础。

从图 1可知，DAG-SVM以二分类器为结点层次构建，从顶部结点到底部结点有累积误差。因此，随机选择分类器布点的分类机不能得到最佳的诊断效果。基于此，本文从降低诊断系统误判风险的角度考虑，设计结点优化的DAG-SVM分类机。

定理1^[18]  多分类问题的有向无环图-支持向量机，假设目标有k类，若根节点的划分风险概率为e₁(假设同层结点具有相近的划分风险概率)，第i层结点的划分风险概率为e_i，那么当决策系统的风险概率最小时，一定有

$ {e_1} \ge {e_2} \ge \ldots \ge {e_{a - 1}} \ge \max \left( {{e_a}, \ldots ,{e_k}} \right) $

(3)

$ a = {\rm{ }}\left\lfloor {\sqrt {2\left( {k - 1} \right) + 0.25} - 0.5} \right\rfloor $

(4)

支持向量机的两类样本间隔Mar越大，风险概率e越小。要使决策系统的误判风险概率最小，不同层结点分类间隔应满足

$ \begin{array}{l} Ma{r_1} \le Ma{r_2} \le \ldots \le Ma{r_{a - 1}} \le \\ \min\left( {Ma{r_a}, \ldots ,Ma{r_k}} \right) \end{array} $

(5)

$ a = {\rm{round}}\left( {\sqrt {2\left( {k - 1} \right) + 0.25} - 0.5} \right) $

(6)

定理1说明若分类机前a层结点的样本分类间隔按照升序排列，能够相对合理地优化结构，降低决策系统误判的总体风险。最后，基于差异化属性约简的DAG-SVM模型进行故障诊断的具体流程如图 2所示。

3 实验结果与分析

对于油浸式变压器，其油中各种气体的含量或者各种气体含量相互之间的比值与变压器各种故障之间是紧密联系的，其中特征气体判别分析(Dissolved gas analysis, DGA)是一种分析变压器故障的有效手段。DGA依据变压器内部发生故障时油中溶解的不同气体含量来判断故障的类型，比如H₂、CH₄、C₂H₆、C₂H₄、C₂H₂等，该方法非常有利于发现变压器的早期潜伏性故障，在电力系统中得到广泛的应用^[18]。

下面本文利用所提算法进行诊断实验，变压器数据方面参考文献[18]所提供的故障样本。该组故障样本有25组，它包含了3组正常数据，4组低能放电数据，4组中温过热数据，9组高温过热数据以及5组电弧放电数据。这5种故障模式以特征气体{H₂, CH₄, C₂H₆, C₂H₄, C₂H₂}的浓度值作为故障识别的依据。

根据算法流程，首先采用等距离分割法对故障决策表进行离散化处理^[19]，确保决策一致性的前提下，合并重复的数据样本。由于两两故障的组合一共有10种，因此，这里以变压器正常状态和低温放电故障为例进行差异化的故障特征属性提取。

变压器正常状态和低温放电决策表如表 1所示。根据表 1两类样本特征属性的不同，建立该决策表的改进型差分矩阵，然后通过并集和交集解析这两种故障间的约简属性集。

根据式(2)，最简属性集的约简为

$ {f_M} = \wedge \left\{ {{a_1}{a_3}{a_5},{a_1}{a_5},{a_1}{a_2}{a_3}{a_5}} \right\} $

(7)

变压器正常状态和低温放电的差分矩阵如表 2所示。表 2的析取结果为{a₁, a₅}, 说明正常样本与低温放电可以仅通过这两个属性的集合给予分辨。类似地，其他不同故障类型间的约简属性结果如表 3所示。

表 3给出了变压器不同故障之间差异化属性约简的约简结果，针对每一组约简刚好可以用一个SVM二分类器进行样本的训练和学习。最终，利用SVM的分类特性可以在线性空间和高维非线性空间训练得到10个SVM分类器，避免了整体性属性约简的不合理问题，实现了两种理论的完好结合。

在SVM分类的核函数选择和参数寻优上，本文选择使用LIBSVM工具箱进行分类分析，核函数采用RBF径向基核函数，对每个分类器均使用10折交叉验证算法进行核函数参数c和γ的寻优。将表 3中每组故障样本对应的特征数据作为输入训练SVM分类器，根据CSVM的样本训练结果可以得到最优参数10组分类面系数表示为

$ \boldsymbol{\omega} = \left[ {\begin{array}{*{20}{c}} {{\omega _{11}}}&{{\omega _{12}}}& \cdots &{{\omega _{1n}}}\\ \vdots&\vdots &{}& \vdots \\ {{\omega _{i1}}}&{{\omega _{i2}}}& \cdots &{{\omega _{in}}}\\ \vdots&\vdots &{}& \vdots \\ {{\omega _{m1}}}&{{\omega _{m2}}}& \cdots &{{\omega _{mn}}} \end{array}} \right] $

(8)

式中i=1, 2, …, m；m=10。SVM分类器的分类间隔为

$ Mar = 2/\left\| {{\boldsymbol{\omega} _i}} \right\| $

(9)

依据分类间隔的大小排布结点，最终DAG-SVM故障诊断分类机如图 3所示。

本文同时收集了文献[20]中35组变压器故障样本作为测试数据集，应用本文提出的方法与不同智能故障诊断方法进行对比，结果如表 4所示。

由表 4中不同算法下测试样本的分析结果可以看出，本文方法在单个类别诊断效果和整体分类效果上相对较好。BP人工神经网络诊断算法的准确率建立在大量样本的学习基础上，因此样本数量的不足导致学习不充分，分类效果不理想；利用训练样本完成BP神经网络的创建后训练样本自身的自校验准确率仅达到80%，这也说明人工神经网络在处理小样本问题方面不具有优势，因此，测试样本的分类效果也不够理想，诊断准确率变化较大，平均准确率也只能达到74.3%。基础粗糙集算法需要连续数据的离散化，而对故障样本数据的不当分割离散化导致样本分类出现误判，属性约简进一步放大了误判影响。基于有向无环图支持向量机的方法将所有故障特征属性作为输入向量构建分类机，SVM结点分类器避免了小样本学习带来的学习不充分，同时利用低维向更高维特征空间的映射实现故障分类；与人工神经网络和基础粗糙集相比，SVM对训练样本的自校验准确率达到100%，对测试样本的平均分类识别度也有较大提高。需要注意的是普通DAG-SVM诊断方法对结点设计并没有特定的说明，因而分类准确率并不稳定。

同样地，利用标准属性约简后的特征属性作为支持向量机的输入建立分类机，极大地简化了特征向量，提高了了分类速度，但是标准属性约简丢掉大量特征信息，反而削弱了SVM在高维特征下的分类能力。

本文方法利用差异化属性约简，以部分或者全体特征属性作为支持向量机的输入，避免了标准属性约简对全体类型的属性消减，利用敏感性更高的特征属性，分别在低维、高维空间进行SVM分类器的创建和DAG-SVM分类机的构建。在属性约简和分类机的改进和结合以后，故障诊断的准确性又有了进一步的提高。由于本文利用粗糙集理论用于故障特征属性的提取，所以在变压器故障某些关键数据缺失和不一致情况下仍然能够提取约简属性，从而利用支持向量机模型进行分类。

4 结束语

本文利用粗糙集属性约简在简化知识方面的特点，提出了适合二分类算法的差异化属性约简，进而利用差异化的特征属性值生成多个SVM分类器，避免了以往文献中故障诊断研究中粗糙集属性约简对故障特征的不恰当约简，最后利用多个SVM二分类器的分类间隔分层构建得到系统误判风险较低的DAG-SVM分类机。多种智能诊断算法的对比结果表明，基于差异化属性约简的有向无环图-支持向量机诊断模型在时间和效率上表现更好，较好地实现了正常状态、低能放电、中温过热、电弧放电和高温过热等5种工况的识别；同时，也表明该方法非常适合于小样本、高维度、非线性的样本。诊断实例的分析表明该方法能够有效地应用于变压器故障诊断，结果也验证了该方法的可行性。然而，差异化属性约简的质量取决于数据离散化的好坏，智能优化地预处理连续数据将有助于进一步提高该算法诊断的效果。