直升机是个不稳定、高度耦合的多输入多输出系统。此外, 直升机在飞行包线内模型参数会随着飞行状态(高度、速度等)改变而变化。因此, 设计控制律时必须考虑模型参数变化及不确定性因素影响^[1]。传统全包线控制律设计方法之一是在选定状态点处基于线性小扰动模型分别进行控制律设计, 然后拟合出全包线内的参数。这种方法可根据飞机模型参数的变化实时调整控制器参数, 以满足控制性能，但它依赖于对象的精确模型, 设计的控制系统鲁棒性差，需要引入鲁棒控制^[2]。鲁棒控制在设计中考虑控制对象的不确定性，能够有效地抑制模型不确定性对控制对象的影响。早期鲁棒控制理论基于Lyapunov稳定性理论，将系统的鲁棒分析和综合转化为Riccati方程的可解性问题。对于Riccati方程的求解，目前多为迭代方法，无法保证其收敛。线性矩阵不等式(Linear matrix inequality, LMI)方法可以克服Riccati方程处理方法中存在的不足^[3]。LMI方法将鲁棒控制理论的相关问题转化为LMI约束的凸优化问题，通过求解一组LMI来求得满足约束的相应解。基于LMI的鲁棒控制在直升机的飞控系统设计中得到了广泛的应用。

20世纪90年代起，Sampath等人基于LMI设计了某型直升机针对噪声干扰的鲁棒控制器^[4]，经验证，其能够抑制一定频率范围的噪声。Sever等人考虑了外界参考输入、干扰等非参数不确定性，基于LMI方法设计了某无人直升机的状态反馈控制器^[5]，能够使无人直升机在外界干扰下较好地跟踪输入指令。Watanabe等人针对某直升机的参数摄动，通过LMI方法设计了鲁棒最优控制器^[6]，并通过仿真验证其在参数摄动下的鲁棒性能。在国内, Xie针对垂直阵风干扰，基于LMI方法来控制某型直升机3个姿态角的稳定^[7]，经仿真验证得到了有效抑制阵风扰动的控制律。Li基于LMI设计了某三自由度直升机的鲁棒LQR(Linear quadratic regulator)控制器^[8]，得到了良好跟踪性能的控制器。Shen针对直升机参数不确定性，基于LMI设计了某三自由度模型直升机的指令跟踪控制规律^[9]，经仿真验证得到了对参数摄动具有较好鲁棒性的控制律。上述研究针对直升机的某类单一模型不确定性取得了一定成果，但是还存在不足。有些工作^{[4-5, 7-8]}只考虑了单一外界干扰的非参数不确定性，有些工作^{[6, 9]}只考虑了单一状态参数摄动的参数不确定性。实际直升机模型的不确定性多是两种不确定性综合作用。本文针对上述不足，考虑两种不确定性综合作用下，基于直-11直升机，针对姿态指令姿态保持(Attitude command attitude hold，ACAH)响应类型进行设计。为了验证本文所述方法的有效性，结Matlab /Simulink进行仿真验证，并与传统控制方法对比。

1 控制对象描述

本文考虑的不确定模型为系统状态矩阵部分元素在一定区间内变化的区间控制系统，并考虑了外界输入干扰

$\begin{array}{c} \boldsymbol{\dot x} = \boldsymbol{Ax} + {\boldsymbol{B}_1}\boldsymbol{w} + \boldsymbol{Bu}\\ \boldsymbol{y} = {\boldsymbol{C}_1}\boldsymbol{x} \end{array}$

(1)

式中：x=[V_x, V_y, V_z, W_x, W_y, W_z, φ, θ]^T，对应模型的纵向线速度(m/s)、升降线速度(m/s)、侧向线速度(m/s)、滚转角速度(rad/s)、偏航角速度(rad/s)、俯仰角速度(rad/s)、滚转角(rad)及俯仰角(rad)。控制输入u=[φ₇, A₁, B₁, φ_T]^T，对应模型的总距(rad)、横向周期变距(rad)、纵向周期变距(rad)、尾桨桨距(rad)。w(t)为有界能量输入信号即w(t)∈L₂[0, ∞), 包括参考输入信号、外部干扰信号。y(t)为输出信号。A为具有不确定性气动导数矩阵，其元素$\in \left[ \mathit{\boldsymbol{\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle-}$}}{A}}},\mathit{\boldsymbol{\bar{A}}} \right]=\left\{ \underline{{{a}_{ij}}}\le {{a}_{ij}}\le \overline{{{a}_{ij}}};i,j=1,2,\cdots ,n \right\}$，A, A为已知常数矩阵，表示直升机模型不确定性。为了具体描述直升机状态矩阵中的参数不确定性，这里采用文献[10]中所述的矩阵不确定性描述方式

$\boldsymbol{A} = {\boldsymbol{A}_0} + \sum\limits_{i = 1}^n {\sum\limits_{j = 1}^n {{\boldsymbol{\varepsilon }_{ij}}{\boldsymbol{H}_{ij}}} } $

(2)

式中：A₀=0.5(A+A)；ε_ij为不确定的实数且|ε_ij|≤1；H_ij=0.5e_i(a_ij-a_ij)e_j^T；e_i表示第i个元素为0的单位列向量。

此外，式(1) 中矩阵B₁为外界输入不确定性矩阵，这里外界扰动矩阵B₁是基于阵风扰动线化模型得到的^[11]，本文主要考虑阵风对直升机纵向通道的干扰。B为操纵导数矩阵，C₁为输出矩阵。

2 控制规律设计 2.1 鲁棒控制结构

本文采用的鲁棒控制结构图如图 1所示。

这里伺服补偿器的作用相当于一个积分器，目的是为了降低指令跟踪的稳态误差。针对图 1，伺服补偿器的形式为

$\begin{array}{c} {{\boldsymbol{\dot x}}_c} = {\boldsymbol{A}_c}{\boldsymbol{x}_c} + {\boldsymbol{B}_c}\boldsymbol{e}\\ {\boldsymbol{y}_c} = {\boldsymbol{x}_c} \end{array}$

(3)

式中：e=r-y；r为参考指令；L₁，L₂分别为前馈矩阵和反馈矩阵，作用是使闭环系统能够跟踪参考指令r以及具有鲁棒性能。控制输入u的形式为

$\boldsymbol{u} = \left[{{\boldsymbol{L}_1}, {\boldsymbol{L}_2}} \right]\left[\begin{array}{l} \boldsymbol{x}\\ {\boldsymbol{x}_c} \end{array} \right]$

(4)

令L=[L₁, L₂]。联立式(1，3，4) 得

$\begin{array}{l} \left[\begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}\\ {{\mathit{\boldsymbol{\dot x}}}_c} \end{array} \right] = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} \mathit{\boldsymbol{A}} & {\bf{0}}\\ {-{\mathit{\boldsymbol{B}}_c}{\mathit{\boldsymbol{C}}_1}} & {{\mathit{\boldsymbol{A}}_c}} \end{array}} \right]\left[\begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{x}}\\ {\mathit{\boldsymbol{x}}_c} \end{array} \right] + \\ \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{B}}_1}} & {\bf{0}}\\ {\bf{0}} & {{\mathit{\boldsymbol{B}}_c}} \end{array}} \right]\left[\begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{w}}\\ \mathit{\boldsymbol{r}} \end{array} \right] + \left[\begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{B}}\\ {\bf{0}} \end{array} \right]\mathit{\boldsymbol{u}}\\ \left[\begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{Y}}\\ {\mathit{\boldsymbol{y}}_c} \end{array} \right] = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{C}}_1}} & {\bf{0}}\\ {\bf{0}} & \mathit{\boldsymbol{I}} \end{array}} \right]\left[\begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{x}}\\ {\mathit{\boldsymbol{x}}_c} \end{array} \right] \end{array}$

(5)

令$\mathit{\boldsymbol{\tilde A = }}\left[{\begin{array}{*{20}{c}} \mathit{\boldsymbol{A}} & {\bf{0}}\\ {-{\mathit{\boldsymbol{B}}_c}{\mathit{\boldsymbol{C}}_1}} & {{\mathit{\boldsymbol{A}}_c}} \end{array}} \right], {\mathit{\boldsymbol{\tilde B}}_1} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{B}}_1}} & {\bf{0}}\\ {\bf{0}} & {{\mathit{\boldsymbol{B}}_c}} \end{array}} \right], \mathit{\boldsymbol{\tilde B = }}\left[\begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{B}}\\ {\bf{0}} \end{array} \right], $$\mathit{\boldsymbol{\tilde C = }}\left[{\begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{C}}_1}} & {\bf{0}}\\ {\bf{0}} & \mathit{\boldsymbol{I}} \end{array}} \right], \mathit{\boldsymbol{\tilde x = }}\left[\begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{x}}\\ {\mathit{\boldsymbol{x}}_c} \end{array} \right], \mathit{\boldsymbol{\tilde y = }}\left[\begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{y}}\\ {\mathit{\boldsymbol{y}}_c} \end{array} \right], \mathit{\boldsymbol{\tilde w = }}\left[\begin{array}{l} \mathit{\boldsymbol{w}}\\ \mathit{\boldsymbol{r}} \end{array} \right], \mathit{\boldsymbol{\tilde u}} = \mathit{\boldsymbol{u}}$。结合如式(6) 所示的性能评价输出

$\boldsymbol{z} = \boldsymbol{\tilde C\tilde x} + \boldsymbol{\tilde D\tilde u}$

(6)

式中：$\boldsymbol{\tilde C}, \boldsymbol{\tilde D}$为针对评价输出的相应加权矩阵。

则式(5) 可转化成

$\begin{matrix} \mathit{\boldsymbol{\dot{\tilde{x}}=\tilde{A}\tilde{x}+}}{{{\mathit{\boldsymbol{\tilde{B}}}}}_{1}}\mathit{\boldsymbol{\tilde{w}+\tilde{B}\tilde{u}}} \\ \mathit{\boldsymbol{z=\tilde{C}\tilde{x}+\tilde{D}\tilde{u}}} \\ \mathit{\boldsymbol{\tilde{y}=}}{{{\mathit{\boldsymbol{\tilde{C}}}}}_{1}}\mathit{\boldsymbol{\tilde{x}}} \\ \end{matrix}$

(7)

2.2 LMI的建立

定义1  给定常数γ>0，如果如式(7) 所示的系统满足以下条件：

(1) 当w=0时系统(式(7))是渐近稳定的。

(2) 当x(0)=0时，对所有非零w∈L₂[0, ∞)，满足‖z‖₂ < γ‖w‖₂。则称系统(式(7))(u(t)=0)是鲁棒稳定的且具有H_∞性能γ；如果存在状态反馈控制器u=Lx使得系统(式(7))的闭环系统鲁棒稳定且具有H_∞性能γ，则称系统(式(7))是鲁棒稳定的且具有性能γ。

定理1^[12]  对于任意给定的γ>0，若存在矩阵Y和对称矩阵X>0, Q_ij>0, i, j=1, 2, …, n, 满足式(8)，则式(8) 所示系统在如式(9) 所述的状态反馈控制规律作用下式鲁棒镇定且具有H_∞性能γ

$\left[{\begin{array}{*{20}{c}} \boldsymbol{\phi} &{{\boldsymbol{N}^{\rm{T}}}}&{{{\boldsymbol{\tilde B}}_1}}&{{\boldsymbol{F}_{11}}}&{{\boldsymbol{F}_{12}}}& \cdots &{{\boldsymbol{F}_{nm}}}\\ \boldsymbol{N}&{-\boldsymbol{I}}&0&0&0& \cdots &0\\ {\boldsymbol{\tilde B}_1^{\rm{T}}}&0&{-{\gamma ^2}\boldsymbol{I}}&0&0& \cdots &0\\ {\boldsymbol{F}_{11}^{\rm{T}}}&0&0&{-{\boldsymbol{Q}_{11}}}&0& \cdots &0\\ {\boldsymbol{F}_{12}^{\rm{T}}}&0&0&0&{ - {\boldsymbol{Q}_{12}}}& \cdots &0\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\vdots \\ {\boldsymbol{F}_{nn}^{\rm{T}}}&0&0&0&0& \cdots &{ - {\boldsymbol{Q}_{nn}}} \end{array}} \right] < 0$

(8)

式中：$\boldsymbol{N} = \boldsymbol{\tilde CX} + \boldsymbol{\tilde DY}$；${\boldsymbol{F}_0} = 0.5\left( {\boldsymbol{X\tilde A}_0^{\rm{T}} + {{\boldsymbol{\tilde A}}_0}\boldsymbol{X}} \right)$；${\boldsymbol{F}_{ij}} = 0.5\left( {\boldsymbol{X\tilde H}_{ij}^{\rm{T}} + {{\boldsymbol{\tilde H}}_{ij}}\boldsymbol{X}} \right), i, j = 1, 2 \cdots, n$；$\boldsymbol{\phi} = {\boldsymbol{F}_0} + \boldsymbol{F}_0^{\rm{T}} + \boldsymbol{\tilde BY + }{\left( {\boldsymbol{\tilde BY}} \right)^{\rm{T}}} + \sum\limits_1^n {\sum\limits_1^n {{\boldsymbol{Q}_{ij}}} } $。

状态反馈控制规律为

$\begin{array}{c} \boldsymbol{u} = \boldsymbol{L\tilde x}\\ \boldsymbol{L} = {\boldsymbol{X}^{-1}}\boldsymbol{Y} \end{array}$

(9)

针对如式(8) 所示的LMI问题，可以通过Matlab鲁棒控制箱中的求解LMI不等式的feasp工具求解。

2.3 设计实例

根据最新直升机飞行品质规范ADS-33E-PRF^[13]，直升机主要响应类型有速率指令姿态保持(Rate command/attitude hold, RCAH)、ACAH、速率向量指令(Translational rate command/position hold, TRCPH)等。他们之间有对应的积分关系，在内回路完成RACH及ACAH响应的基础上可以扩展到外回路TRCPH响应上^[14]。本文主要针对直升机内回路的ACAH响应类型。

选取样例直升机(直-11) 悬停模态为直升机鲁棒控制的标称设计点。在这里，根据直升机气动导数随飞行状态变化的特性分析结果, 选择式(1)A阵中的不确定性摄动元素为:空速稳定性导数$\left( {\frac{{\partial {M_z}}}{{\partial {V_x}}}} \right)$、迎角稳定性导数$\left( {\frac{{\partial {M_z}}}{{\partial {V_y}}}} \right)$、航向稳定性导数$\left( {\frac{{\partial {M_y}}}{{\partial {V_z}}}} \right)$、上反效应$\left( {\frac{{\partial {M_x}}}{{\partial {V_z}}}} \right)$、垂直运动阻尼导数$\left( {\frac{{\partial {F_y}}}{{\partial {V_y}}}} \right)$、俯仰运动阻尼导数$\left( {\frac{{\partial {M_z}}}{{\partial {w_z}}}} \right)$、偏航阻尼导数$\left( {\frac{{\partial {M_y}}}{{\partial {w_y}}}} \right)$及滚转阻尼导数$\left( {\frac{{\partial {M_x}}}{{\partial {w_x}}}} \right)$。摄动范围选取悬停到小速度前飞状态。根据系统矩阵中的元素与摄动元素的关系，可以确定A₀，H_ij以及联立后的${\boldsymbol{\tilde A}_0}, {\boldsymbol{\tilde H}_{ij}}$。

针对评价输出z，在此，本文选择纵向俯仰角指令和横向滚转角指令为参考输入指令即r=[φ_g, θ_g]^T。为了降低闭环系统指令跟踪的稳态误差以获得较好的指令跟踪性能，评价输出的选择为上述两种指令跟踪的误差的积分，即$\boldsymbol{z = }{\left[{{k_1}\frac{{{\varphi _e}}}{s}, {k_2}\frac{{{\theta _e}}}{s}} \right]^{\rm{T}}}$，其中k₁，k₂为相应的加权系数，需要结合仿真反复调整，这里选择k₁=0.5，k₂=0.1。最后，可得全状态反馈矩阵L以及鲁棒性能指标γ=0.9。

3 模型仿真与验证分析

在Matlab/Simulink中建立如图 2所示的仿真模型。

不考虑系统矩阵参数摄动和参考输入，样例直升机于悬停状态下受到阵风干扰后，纵向通道、横向通道的响应如图 3所示。

无/有阵风干扰，直升机在悬停状态下，直升机纵向通道和横向通道ACAH响应对比分别如图 4，5所示。

为了验证闭环控制系统在状态矩阵参数摄动以及外部干扰综合不确定性作用下仍能保持稳定，并且具有良好的指令跟踪能力，在Matlab/Simulink鲁棒工具箱中建立如图 6所示的包含参数不确定模型的Simulink模型。

无参考输入指令及综合不确定性作用下直升机纵向通道、横向通道随机10次响应如图 7, 8所示。

给定10°俯仰角指令，直升机在状态参数摄动和外部扰动的作用下纵向通道和横向通道随机10次ACAH响应如图 9, 10所示。

图 11~13分别为传统控制规律设计下滚转通道在不考虑不确定性、只有阵风干扰、综合不确定性下随机10次ACAH响应曲线。

分析图 3~5，闭环系统在只有阵风扰动的情况下稳定且能够快速跟踪指令，横向通道调整时间约为1 s，稳态误差约为0.2°。纵向通道调整时间约为2 s，稳态误差约为0.2°。此外，横向通道和纵向通道具有良好的解耦特性。分析图 7~13，在状态参数摄动和外部阵风扰动的共同作用下，闭环系统调整时间和稳态误差均有所增加，但是仍然能满足跟踪参考指令的要求。此外，本文所述方法较传统控制方法具有更好的稳定性和鲁棒性。

4 结束语

本文针对直升机动力学特性在不同飞行状态下差异明显，造成经典反馈控制方法无法在较大飞行速度范围内始终保持良好控制性能的缺点，基于H_∞控制理论提出了一套具有增强鲁棒性的飞行控制律设计方法。通过对直升机气动导数摄动和外界阵风扰动的分析，建立了具有不确定性模块的增广直升机飞行动力学模型，根据此模型对鲁棒控制结构进行了设计, 并基于LMI理论实现了鲁棒控制律的反馈阵求解。最后，以Z-11为算例直升机，进行了鲁棒飞行控制律设计，并通过对ACAH响应类型的仿真分析以及与经典控制方法的对比研究，验证了本文方法的有效性和鲁棒性。

需要指出的是，由于本文对直升机气动导数的摄动建模还不够系统，同时对外界扰动的不确定性也仅仅局限于某一通道，这将对设计得到的飞行控制律的鲁棒性造成一定程度的影响。因此，在后续工作中，将重点对这两类不确定性问题的建模方法进行深入研究，进一步增强控制律设计方法的鲁棒性。