机队规划研究的主要问题就是机型与航线的匹配问题。航线机型匹配作为公司管理者用于调度和利用公司多种生产资源和生产要素以适应当前航空市场环境，使公司盈利的一种决策手段，是公司日常经营管理的关键所在，也是在竞争日益激烈的航空市场中赢得竞争优势的必要武器。

国内外许多学者在机型与航线匹配方案做了大量的研究，并取得了一定的研究成果。Abara等人利用结点来表示航班进离港时间，提出时空网络结构概念并将其运用到机型指派模型中，解决了航空公司航班环中机型指派问题^[1-2] 。Teodorovic等人建立了以航线网络利润最大化、旅客量最大化以及旅客计划延误时间最小化这3个目标的多目标函数^[3]，为航空公司追求多项优化指标提供了理论依据。都业富教授对航班计划优化实用方法进行了研究，建立了规划周期为10~15年的大型线性机型与航线的最优规划模型^[4]。于玺强研究了民用飞机运营成本评估的方法^[5]。徐进利用时空网络概念建立了可变动时刻的机型指派模型，文中虽然考虑了旅客的溢出成本，也考虑了旅客的延误成本，但未考虑在这些情况下带来的机队利用率不平衡问题^[6]。张海峰等人研究了基于延误控制的航班计划编排模型，在考虑航班延误成本的同时，也将旅客的溢出成本考虑在内^[7]。敖小琴分别建立了以公司运营成本最小化和利润最大化为优化目标的单目标机队优化配置模型^[8]。吴东华等人利用最大隶属度函数解决了飞机排班的多目标模型^[9]。

一个航空公司经营状态的好坏可用多个方面的指标进行评价，例如：运营成本、利润、客座率、准点率、延误率等。越来越多的航空公司不再满足于一个最优目标，而是期望得到多方面的最优状态。

本文根据大多数航空公司的需求对多目标机队规划问题进行建模研究，并分析其中所遇到的某些问题。根据以往大量数据研究可知，各条航线航空旅客的需求分布遵循正态分布D=N(μ,δ²)^[10]，这种离散分布必然会产生航线旅客需求量大于实际航班座位投放的可能。这种供不应求的现象，被称之为旅客溢出。航线上存在旅客溢出情况表示航空公司由于运力的安排不恰当而损失了部分潜在客户，不仅影响了航空公司的市场形象，同时也意味着增加了航空公司的机会成本，也称为溢出成本^[11]。文中将旅客溢出带来的潜在成本考虑在内，以降低机队的飞行成本为出发点，同时以最大限度地满足社会需求，减少飞机的空余座位数为目的，建立多目标0~1整数规划模型，采用模糊分析法将多目标问题转化为单目标模型，最后给出实例计算并对优化结果进行分析。

1 多目标规划模型的建立 1.1 建立目标函数

假设航空公司拥有m条航线资源，n种机队机型，x_ij(i=1,2，…，n；j=1,2，…，m)表示第j条航线上的航班任务由第i种机型执行，以天为时间单位，建立如下多目标机队优化配置模型

$\begin{align} & min{{Z}_{0}}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop{\sum }}}\,\underset{j=1}{\overset{m}{\mathop{\sum }}}\,[\left( C{{T}_{i}}\cdot {{t}_{ij}}+CF\cdot W{{F}_{i}}\cdot {{t}_{ij}} \right)\cdot \\ & {{x}_{ij}}\cdot {{q}_{j}}+{{q}_{j}}\cdot ({{P}_{j}}\cdot spil{{l}_{ij}}\cdot {{x}_{~}}ij)]~ \\ \end{align}$

(1)

$min{{Z}_{j}}=\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop{\sum }}}\,({{s}_{i}}\cdot {{x}_{ij}})\cdot {{q}_{j}}-{{\mu }_{j}}$

(2)

式中：CT_i表示第i种机型单位时间的时间成本，一般由飞机制造商给出的成本指数折合计算得来；t_ij表示第i种机型执行第j个航班任务时的单程飞行时间；q_j为每天航班j的频率；CF表示当前航空燃油价格；WF_i表示第i种机型的燃油流量；P_j表示第j条航线上的平均票价，与机型i无关；spill_ij表示第i种机型执行第j条航线航班任务时的旅客溢出量；μ_j表示第j条航线上旅客需求量的平均值。

式(1) 表示航空公司制定此次机队优划的一个目的是降低由机队执行飞行任务时产生的成本，里面包括时间成本、燃油成本和溢出成本。由于考虑了旅客的溢出成本，为了减少旅客溢出，管理系统在为航线分配机型时，必然会将大飞机分配给市场需求量低的航线，导致某些航线j上飞机产生较多的空余座位数；因此，式(2) 表示此次机队优化的另一个需要达到的目标就是通过充分利用不同座位级的机型，尽可能地减少各条航线上飞机的空余座位数，即提高各机型的座位利用率。

1.2 建立约束条件

机队规划的制定需要考虑多方面的因素，这些因素主要来自于外部环境限制和公司内部资源限制两方面，根据建立的目标函数，设定以下相关限制约束条件：

(1) x_ij为0~1变量

$\left\{ \begin{align} & {{x}_{ij}}=1由机型i执行航线j上的任务 \\ & {{x}_{ij}}=0否则 \\ \end{align} \right.$

(3)

(2) 航班覆盖

$\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop{\sum }}}\,{{x}_{ij}}=1j=1,2,\ldots ,m~$

(4)

该项约束条件是指每条航线上由且仅由一种机型执行航班任务。

(3) 航线旅客需求

$\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop{\sum }}}\,{{q}_{j}}\cdot {{x}_{ij}}\cdot {{s}_{i}}\cdot {{\eta }_{ij}}\ge {{D}_{j}}j=1,2,\ldots ,m$

(5)

式中：s_i表示第i种机型的座位数；η_ij表示第i种机型在第j条航线上的平均客座率；D_j表示第j条航线的旅客需求量。该项约束条件保证了该条航线上可提供的座位数应该满足该条航线上旅客量的需求。

(4) 飞机日利用率限制

$\underset{j=1}{\overset{m}{\mathop{\sum }}}\,{{t}_{ij}}\cdot {{x}_{ij}}\cdot {{q}_{j}}\le T{{M}_{i}}i=1,2,\ldots ,n$

(6)

式中：TM_i表示机队中第i种机型总的可用日利用时间。

(5) 航班连续限制

${{x}_{ij}}={{x}_{i{{j}^{*}}}}i=1,2,\ldots ,n;j=1,2,\ldots ,m$

(7)

该约束条件表示如果第j条航线和第j^*条航线属于一次飞行任务中的经停航班，则要求这两条航线上航班任务由同一种机型来执行。

(6) 最大航程限制

${{x}_{ij}}=0$

(8)

该约束条件表示如果机型i的满载最大航程小于航线j的距离，则该机型不能执行此条航线上飞行任务。

2 多目标规划模型的求解

一般来讲，要使多个目标函数同时到达各自的最优值往往很困难，需要采用折中的方法来处理，使各目标函数值达到相对“极大值”。多目标规划模型的求解一般分两种：层次分析法和化多为少法。多目标模糊决策法^[12]采取基于隶属度的多目标模糊决策法^[13]将文中的多目标规划模型转化为单目标模型进行求解。

通过引入隶属函数，将各个目标函数模糊化，然后将多目标函数转化为同等的单目标函数。隶属函数的确定可根据不同的模型来设定。

对于多目标中每个目标函数的最优值Z_k^*(k=0,1,2,…,m),给出一个收缩性指标θ_k(θ_k ≥0) ，确定多目标隶属函数F_k(x)为

$\eqalign{ & {F_k}\left( x \right) = {g_k}\left( {\mathop {\mathop \sum \limits^m }\limits_{k = 0} {\mkern 1mu} {c_{ij}} \cdot {x_j}} \right) = \cr & \left\{ \matrix{ 0\mathop {\mathop \sum \limits^m }\limits_{j = 1} {\mkern 1mu} {c_{ij}} \cdot {x_j}{j^*} - {\theta _k} \hfill \cr 1 - {1 \over {{\theta _k}}}({Z_k} - \mathop {\mathop \sum \limits^m }\limits_{j = 1} {\mkern 1mu} {c_{ij}} \cdot {x_j}) \hfill \cr {Z_i}^* - {\theta _k} \le \mathop {\mathop \sum \limits^m }\limits_{j = 1} {\mkern 1mu} {c_{ij}} \cdot {x_j}{i^*} \hfill \cr 1\mathop {\mathop \sum \limits^m }\limits_{j = 1} {\mkern 1mu} {c_{ij}} \cdot {x_j} \ge {Z_i}^* \hfill \cr} \right. \cr} $

(9)

式中：θ_k的值是当第k个目标达到最优值时，对应的所有单目标值中最大值和最小值之差的绝对值。它是描述各个目标重要性程度的指标，θ_k越小，表示目标函数Z_k越重要。

隶属度λ=F₁(x)ΛF₂(x)Λ…ΛF_r(x)。其中F=F₁∩F₂∩…∩F_r，是对应于多目标函数Z=Cx模糊化后的模糊目标集，是x属于F的隶属度。根据模糊理论的无条件模糊极大值性质和最大隶属度原则^[14]，若能求得x^*，使F(x^*)=supx∈UF(x)，那么x^*的值就是目标函数在模糊约束条件下的最优解，而Z^**=Cx^*就是目标函数的最优值。

因此，根据隶属函数和隶属度的定义，机型航线优化配置的多目标函数式(1，2) 可以转化为如下的单目标数学规划模型

$\left\{ \matrix{ max\left( \lambda \right) \hfill \cr 1 - {1 \over {\theta {_0}}}({z_0} + \mathop \sum \limits_{i = 1}^n \mathop \sum \limits_{j = 1}^m [(C{T_i}\cdot{t_{ij}} + C F\cdot W{F_i}\cdot {t_{ij}})\cdot \hfill \cr {x_{ij}} + ({p_j}\cdot spil{l_{ij}}\cdot{x_{ij}})]) \ge \lambda \hfill \cr 1 - {1 \over {{\theta _k}}}({z_j} + \mathop \sum \limits_1^n ({s_i}\cdot{x_{ij}}) - {\mu _j}){\rm{ }} \ge \lambda \hfill \cr \mathop \sum \limits_{i = 1}^n {x_{ij}} = 1 \hfill \cr \mathop \sum \limits_{i = 1}^n {s_i}\cdot{x_{ij}}\cdot{q_j} \ge {\mu _j} \hfill \cr \mathop \sum \limits_{j = 1}^m {t_{ij}}\cdot{x_{ij}}\cdot{q_j} \le T{M_i} \hfill \cr {x_{ij}} = {x_{i{j^*}}}(若第j个航班和第j*个航班为连续航段) \hfill \cr {x_{ij}} = 1\left\{ \matrix{ 1若机型i执行第j个航班任务 \hfill \cr 0否则 \hfill \cr} \right. \hfill \cr i \in N,j \in M{\rm{ }} \hfill \cr \lambda \ge 0 \hfill \cr} \right.$

(10)

转换后的机队优化配置模型属于0~1整数规划模型，可以借用LINGO软件对其进行求解。

3 实例分析 3.1 实例数据

已知某航空公司在天津基地拥有3种机型，分别是A320、ERJ190和ERJ145，各机型的性能数据和时间成本如表 1所示。

航空公司所拥有的航线资源与各机型的溢出量(部分数据)如表 2所示。

表中3类机型飞各条航线的旅客溢出量spill_ij已根据各条航线上旅客需求分布的平均值μ_j和标准差δ_j计算得出。旅客的溢出人数可用spill_ij= ∫∞s_i (D_j-s_i)f(D_j) dD_j表示^[15]，上述积分函数可用专业数学软件或计算器求出，也可用EXCEL模拟计算出该积分函数值，而且更加方便明了。

3.2 模型求解与分析

按照上一节中对引入隶属函数的多目标规划模糊优化算法的介绍，模型的求解按以下步骤进行：

步骤1 将多目标优化匹配模型中求最小值的目标函数转换成求最大值的目标函数。

步骤2 在6条约束条件下，分别求出每个目标函数的最优值Z₀^*=-2 479 306，Z_j^* =(-12,-32,-6,-32,-6,-42,-52,-62,-92,-6,-26,-42,-16,-26,-16,-11,-26,-31,-36,-31, -26,-31，-102,-46,-36,-36,-46,-16,-15,-10,-10,-10,-15,-15,-20,-15,-15,-20) 。

步骤3 求出40个收缩性指标θ_k(k=0,1,…,39) 的值，见表 3。

步骤4 计算出收缩性指标θ_k后，利用LINGO软件对式(10) 中的单目标规划模型进行求解计算，得出最大隶属度λ^*=0.965，同时也得到对应的多目标机队优化配置模型的最优解和最优分配方案。优化后和优化前的方案对比如表 4所示。

根据表 4的分配方案对比，目标函数式(1) 的原运营成本Z₀=2 554 012元，经过引入隶属度进行多目标模糊优化后，成本降低至2 504 671元，机队每天可节约成本49 341元，节约率为1.93%。

此外，根据表 2中旅客平均需求量和表 4中不同座级机型的分配，可计算出A320、ERJ190、ERJ145在原分配方案和在优化后方案中的平均座位利用率，计算结果如表 5所示。

表 5中3种机型的平均座位利用率优化结果非常明显，经过模糊函数优化后，A320和ERJ190的座位利用率均得到了提高，由于ERJ145提供的座位数和A320、ERJ190的座位级相差较大，并且数量少，因此ERJ145可满足的航线市场相对较窄，但在一些旅客量相对较少的航线，由ERJ145执行该任务时能为机队节省成本。

4 结束语

本文研究了航空公司在机队规模和航线资源已固定的情况下，机型与航线的优化匹配问题。以机队飞行成本作为衡量机队规划经济性指标，建立了多目标机队优化匹配模型，既考虑了由于旅客溢出带来的溢出成本，又保证了每天航线上较高的座位利用率。实例验证表明：转化成单目标求解出来的结果较原方案的目标函数值都得到了优化，机队运营产生的成本有所降低，飞机的座位利用率也都得到了提高，从而验证了文中建立的多目标优化配置模型及采用的隶属函数模糊算法是可靠、实用的，这为航空公司制定短期机队规划提供了有力的理论基础。