复合材料结构工程应用中，在工艺分离面、零构件连接点和检修口盖等处不可避免地会出现各种形式的开孔。开孔的存在破坏了长纤维的连续性，改变了结构的传力路线，还会导致结构因局部刚度的突变而在孔边区域产生应力集中。因此，开孔的存在严重影响着结构力学性能，尤其会明显降低结构的强度。

为了工程估算复合材料含孔层合板的剩余强度，前人已提出了一些以应力形式表达的缺口强度准则。这些准则是基于等效正交各向异性板缺口根部弹性应力场描述，采用特征距离来表达的，可统称为特征距离法。其中，工程应用最为广泛的是Whitney和Nusmer^[1]提出的点应力准则(Point stress criterion,PSC)和平均应力准则(Average stress criterion,ASC)。Eriksson等^[2]在损伤区域模型的基础上，提出了损伤区域准则(Damage zone criterion,DZC)，建立了缺口强度的解析表达式。姚卫星^[3-4]考虑了缺口根部应力梯度的影响，提出了应力场强(Stress field intensity,SFI)分析方法，该方法是对点应力准则和平均应力准则分析方法的统一。Chen等^[5]认为纤维增强复合材料缺口强度可以通过预测0°层纤维断裂来评估，提出了损伤区纤维断裂准则，但该分析方法求解过程非常复杂。

应力场强分析方法对损伤物理机制有了较深层次的表述，但工程计算相对复杂。本文基于应力场强法，建立了含圆孔层合板剩余强度预测的工程解析表达。用从文献中收集到的大量试验数据对本文模型进行了验证，并与点应力准则模型、平均应力准则模型和损伤区域准则模型进行了对比分析。

1 应力场强法

应力场强法认为含应力集中的构件的破坏不仅仅取决于峰值应力，而是由应力集中区域的应力应变场造成。应力场强法考虑了缺口根部损伤区域内应力梯度的影响，通过对场强区域内所有材料点的应力矢量分配权函数，从而考虑了不同材料点的应力对缺口根部失效的综合贡献(图 1(a))。

应力场强法中，缺口场强函数f_RD表述为^[4]

${f_{RD}} = {1 \over S} { _{_D}}f\left( \sigma \right)\varphi \left( r \right)ds$

(1)

式中：D为场强区域，是一个材料常数；S为场强区域D的面积；φ(r)为权函数；f(σ)为破坏曲面函数。

对于单向板，f(σ)可取Tsai-Hill多项式；对于层合板，可将其作整体分析，按经典层合板理论确定层合板的各方向强度值后，f(σ)仍可近似取为Tsai-Hill多项式。

式(1)中，当f_RD=1时，意味着层合板发生最终破坏。

工程实践中，直接使用式(1)估算层合板缺口强度很不方便。按图 1(b)所示求积分，式(1)可改写为^[4]

${f_{RD}} = {1 \over S}\matrix{ {R + L} & {\theta \left( x \right)} \cr R & { - \theta \left( x \right)} \cr } f\left( \sigma \right)\varphi \left( r \right)d\theta ds$

(2)

式中：R为缺口半径；L为y=0对称面上的场径长度；θ为场强区域到x轴的最大偏角。

根据积分中值定理，式(2)进一步写为

${f_{RD}} = {1 \over {{d_S}}}\matrix{ {R + {d_S}} \cr R \cr } f\left( \sigma \right)\psi \left( x \right)dx$

(3)

式中：d_s为特征长度；ψx为权函数。因为在y=0面上，主要应力为σ_yx,0，所以可近似取f(σ)=σ_yx,0/σ₀，其中σ₀为y方向无缺口层合板的强度。

2 含圆孔层合板剩余强度估算模型

式(3)中需要获得y=0面上孔边应力分布σ_y(x,0)和权函数ψ(x)，分析如下。

将层合板等效为均质正交各向异性板。对于正交各向异性的含中心圆孔的无限宽板，孔边沿垂直加载方向轴线上的弹性应力分布可由Lekhnitskii公式导出^[6]为

$\eqalign{ & {\sigma _y}\left( {x,0} \right) = {{\sigma _h^\infty } \over 2} \cr & \left\{ {2 + {{\left( {{R \over x}} \right)}^2} + 3{{\left( {{R \over x}} \right)}^4} - \left( {K_T^\infty - 3} \right)\left[ {5{{\left( {{R \over x}} \right)}^6} - 7{{\left( {{R \over x}} \right)}^8}} \right]} \right\} \cr} $

(4)

式中：σ^∞_h为远场应力；K^∞_T为无限宽板孔边应力集中系数，计算公式为^[7]

$\eqalign{ & K_T^\infty = 1 + {\left\{ {2\left[ {{{\left( {{{{E_y}} \over {{E_x}}}} \right)}^{{1 \over 2}}} - {\nu _{yx}}} \right] + {{{E_y}} \over {{G_{yx}}}}} \right\}^{{1 \over 2}}} = \cr & 1 + {\left[ {{2 \over {{A_{22}}}}\left( {\sqrt {{A_{11}}{A_{22}}} - {A_{12}} + {{{A_{11}}{A_{22}} - A_{12}^2} \over {2{A_{66}}}}} \right)} \right]^{{1 \over 2}}} \cr} $

(5)

式中：E_x，E_y，G_yx和ν_yx为有效弹性常数；A_ij为层合板面内刚度系数。

权函数ψx表示y=0截面上距离缺口根部x处应力对缺口根部发生破坏所作的贡献。作为权函数，应满足下述几个基本条件^[4]： (1) 0≤ψx≤1，且ψx关于x广义单调降；(2)ψ0=1；(3) 当K_T=1时，ψx≡1。

按照以上条件，可构造出无穷多个权函数。对于含中心圆孔层合板，可近似认为场强区内其他点对缺口根部的贡献只与该点到缺口根部的距离有关，故可构造以下的权函数形式

$\psi \left( x \right) = 1 - {{x - R} \over {{W \over 2} - R}} = {W \over {W - 2R}} - Cx$

(6)

式中：W为板宽；$C = {1 \over {{W \over 2} - R}}$为衰减系数，只与板宽和孔径有关。

将表示孔边应力分布的式(4)和表示权函数的式(5)代入式(3)，就可获得含中心圆孔层合板的缺口强度的解析表达式为

${\sigma _h} = {{2\left( {1 - \lambda } \right){\sigma _0}} \over {Y\lambda \left[ {{m_1} + CR\left( {{m_1} - {m_2}} \right)} \right]}}$

(7a)

${m_1} = 2{\lambda ^{ - 1}} - \lambda - {\lambda ^3} + \left( {K_T^\infty - 3} \right)\left( {{\lambda ^5} - {\lambda ^3}} \right)$

(7b)

$\eqalign{ & {m_2} = {\lambda ^{ - 2}} - \ln \left( \lambda \right) - {3 \over 2}{\lambda ^2} + \left( {K_T^\infty - 3} \right) \cr & \left( {{5 \over 4}{\lambda ^4} - {7 \over 6}{\lambda ^6}} \right) - {{K_T^\infty } \over {12}} + {3 \over 4} \cr} $

(7c)

式中：λ=R(R+d_s)；Y为有限宽板修正系数。

对于含中心圆孔的有限宽板，当孔径板宽比小于1/3时，Y的近似计算公式为^[8]

$\matrix{ {Y = {{3\left( {1 - {{2R} \over W}} \right)} \over {2 + {{\left( {1 - {{2R} \over W}} \right)}^3}}}} & {{{2R} \over W} \le {1 \over 3}} \cr } $

(8)

3 模型验证

从参考文献中收集了大量含中心圆孔层合板的拉伸强度试验数据，对本文的应力场强法工程估算模型进行验证，并与点应力准则、平均应力准则和损伤区域准则模型进行对比。所收集的试验数据包含板宽相同的试件试验数据和径宽比相同的试件试验数据。

3.1 板宽相同的含孔层合板试件

板宽相同的含中心圆孔层合板的试件信息以及不同模型的预测结果列于表 1。表中，第1列为材料体系；第2列为层合板铺层顺序；第3列为试件孔径大小的种数，括号内为有效孔径的种数，即径宽比不大于1/3的孔径的种数；第4列为无孔层合板的拉伸极限强度σ₀；第5列为由各模型计算得到的特征长度均值和相对均值误差。特征长度是根据各个含孔试件(有效孔径)的试验强度结合强度估算模型得出的；特征长度均值定义为同类型(材料和铺层相同)的含孔试件的特征长度的平均值；相对均值误差定义为同类型试件得到的特征长度值与特征长度均值的最大相对误差。

表 1中，特征长度的相对均值误差可作为评估不同方法优劣的一个指标。该值越小，说明相同复合材料不同几何形式的开孔试件计算得到特征长度值越接近，即意味着相对应的估算模型方法越准确。从表中数据看出，应力场强法和平均应力准则法计算得到的特征长度相对均值比点应力准则法和损伤区域准则法明显要小，说明这两种方法的预测更为准确。进一步对比发现，相比于平均应力准则法，应力强度法的预测能力略优。

表 1中，材料为AS4/3501-6^a、铺层为[±45]_4S的层合板，在不同孔径下由各特征距离法得出的特征长度值差异最为显著，列于表 2。从表 2中看出，对于PSC和SFI方法，不同孔径下得到的特征长度值的差别很大；对于ASC和DZC方法，孔径为12.7和25.4 mm的情形下得不到特征长度值，即由这两种方法预测的特征长度超出了半板宽范围(W/2)。以上分析说明各特征距离法无法用于合理预测这类不含0°层的角铺设含孔层合板的剩余强度。

图 2为各特征距离法计算得到的含孔层合板(板宽W相同)的剩余拉伸强度曲线，并与试验结果进行了对比。图中实验结果以均值和分散带的形式给出。从图中看出：相比于其他两种方法，平均应力准则法和应力场强法预测结果与试验结果更为吻合；应力场强法比平均应力准则法吻合得更好些。

3.2 径宽比相同的含孔层合板试件

径宽比相同的含中心圆孔层合板的试件信息以及不同模型的预测结果列于表 3，表中各列内容与表 1的说明一致。表 3中，材料为IM7/8552、铺层为[45₄/90₄/-45₄/0₄]_S的层合板，在不同孔径下由各特征距离法得出的特征长度值差异最为显著，单列于表 4。从表 4可以看出，对于PSC和SFI方法，不同孔径下得到的特征长度值差别很大；对于ASC和DZC方法，孔径为12.7,25.4 mm的情形下预测的特征长度超出了半板宽范围(W/2)。与[45₄/90₄/-45₄/0₄]_S铺层对应，相同材料相同厚度的[45/90/-45/0]_4S层合板，可根据不同特征距离法计算得出平均特征长度，且相对均值误差都在18%内。这说明各特征距离法无法用来合理预测单层多次连续铺设的含孔层合板的强度。表 3中，对比材料为T800/M21的两种不同铺层试件的特征长度相对均值误差，也可以说明上述结论。

表 3中还可以看出，4种特征距离法得到的特征长度相对均值误差相差不大，说明针对这类试件，4种特征距离法的预测能力相当。

图 3为各特征距离法计算得到的含孔层合板(径宽比D/W相同)的剩余拉伸强度曲线，并与试验结果进行了对比。从图中看出：4种特征距离法的预测结果非常接近；材料为T800/M21的两种层合板的剩余强度预测值与试验结果相差较大，其他层合板的预测值与试验结果吻合较好。

4 结论

(1) 基于应力场强法，建立了含中心圆孔层合板的剩余强度工程估算模型。

(2) 用从文献中收集到的大量含中心圆孔层合板的拉伸试验数据，对本文模型以及点应力准则模型、平均应力准则模型和损伤区域准则模型进行了评估分析。结果表明：就总体而言，应力场强法和平均应力准则法预测能力要优于点应力准则法和损伤区域准则法，应力场强法预测结果与试验吻合程度略优于平均应力准则法；对少数含孔层合板试件，尤其是单层多次连续铺设的含孔层合板试件和不含0°层的角铺设含孔层合板试件，4种特征距离法均难以准确预测它们的剩余强度。

(3) 特征距离法虽未对含孔层合板的损伤机制和破坏模式进行深入研究，但由于避开了孔边区域非线性渐进损伤分析，在复合材料结构设计阶段常常为工程所应用。