多点振动环境试验是工程机械产品、设备以及相关部零件在设计阶段进行可靠性与耐久性测试的有效手段。随机振动试验更符合产品实际承受的力学环境，是重要的环境试验类型之一^[1-4]。随机信号生成、控制算法与结构传递特性辨识是多点随机振动闭环试验系统重要研究内容，其中随机信号生成精度与速度影响着振动系统的控制精度与收敛速度，是研究多点振动试验的关键问题。Smallwood等^[5-6]经过多年研究提出了较为系统的振动试验相关理论，针对不同类型的信号生成提出了时域随机化方法，将单段信号采用随机颠倒、组合等手段生成较长周期的随机信号。蒋瑜等^[7-8]针对超高斯随机信号生成技术开展了深入研究，提出了具有指定功率谱密度(Power spectral density, PSD)分布的超高斯伪随机振动信号的生成技术，实现同时具有频域和幅值域的双域控制及均衡能力。关广丰等^[9]针对六自由度电液振动台环境试验中驱动信号产生进行了研究，采用Praks-McClellan方法设计了FIR滤波器对一系列独立白噪声进行滤波，得到能够满足实时系统控制的驱动信号。这种方法生成的信号频带较窄，最高仅为70 Hz，不适用宽频随机振动。贺旭东等^[10]采用仅有零点的FIR数字滤波器系统，使得滤波白噪声输出序列能够满足随机振动试验驱动功率谱的要求。

虽然在单点信号生成中，FIR滤波法产生的信号使整个系统稳定，但在多输入多输出(Multiple-input multiple-output, MIMO)振动系统中，驱动谱是以矩阵形式体现的，既包含自谱又包含互谱，这种方法在互谱生成中精度不高。本文忽略非线性因素，针对在MIMO线性随机振动试验系统中含有相干特性以及相位差元素的多路随机信号生成，依据多自由度线性振动理论中激励与响应在频域内的关系，以多路互相独立的白噪声信号为源信号，提出多点随机驱动信号的CD(Cholesky decomposition)生成方法。并通过仿真算例与传统的时频转换方法进行对比，验证此方法在精度控制上的优势，为随机振动试验更精确地控制提供理论支撑。

1 线性MIMO振动系统驱动谱

具有n自由度的线性MIMO振动系统激励与响应在时域与频域的关系如图 1所示。图中h(t)表示系统单位脉冲响应函数矩阵，其傅里叶变换H(f)表示系统的频率响应函数。

记X(f)=[X₁(f), X₂(f), …, X_n(f)]^T为激励信号频谱向量，Y(f)=[Y₁(f), Y₂(f), …, Y_n(f)]^T为响应信号频谱向量。两者关系为

$\mathit{\boldsymbol{Y}}\left( f \right) = \mathit{\boldsymbol{H}}\left( f \right)\mathit{\boldsymbol{X}}\left( f \right)$

(1)

将式(1)两边同时乘以自身的共轭转置并求其期望，得

$\begin{array}{l}\mathit{\boldsymbol{E}}\left[{\mathit{\boldsymbol{Y}}\left( f \right){\mathit{\boldsymbol{Y}}^*}\left( f \right)} \right] = \mathit{\boldsymbol{E}}\left[{\mathit{\boldsymbol{H}}\left( f \right)\mathit{\boldsymbol{X}}\left( f \right){\mathit{\boldsymbol{X}}^*}\left( f \right){\mathit{\boldsymbol{H}}^*}\left( f \right)} \right] = \\\mathit{\boldsymbol{H}}\left( f \right)\mathit{\boldsymbol{E}}\left[{\mathit{\boldsymbol{X}}\left( f \right){\mathit{\boldsymbol{X}}^\mathit{\boldsymbol{*}}}\left( f \right)} \right]{\mathit{\boldsymbol{H}}^*}\left( f \right)\end{array}$

(2)

式中：E[Y(f)Y^*(f)]为响应信号功率谱密度矩阵，记为S_Y(f)，E[X(f)X^*(f)]为激励信号的功率谱密度矩阵，记为S_X(f)。故式(2)可写成

${\mathit{\boldsymbol{S}}_Y}\left( f \right) = \mathit{\boldsymbol{H}}\left( f \right){\mathit{\boldsymbol{S}}_X}\left( f \right){\mathit{\boldsymbol{H}}^*}\left( f \right)$

(3)

易知激励与响应的功率谱密度矩阵均为Hermite矩阵，其对角元为自谱，是一组实数；非对角元为互谱，是复数，包含着不同信号之间的相干信息与相位差信息。在MIMO振动试验中，设定参考谱矩阵S_R(f)，通过频响函数估计的方式得到系统的实测频响矩阵G(f)，根据式(3)可得驱动谱矩阵

${\mathit{\boldsymbol{S}}_{\rm{D}}}\left( f \right) = {\mathit{\boldsymbol{G}}^{- 1}}\left( f \right){\mathit{\boldsymbol{S}}_{\rm{R}}}\left( f \right){\left[{{\mathit{\boldsymbol{G}}^*}\left( f \right)} \right]^{ -1}}$

(4)

2 驱动信号生成 2.1 Cholesky分解

从谱密度阵可实现的物理条件^[11]，信号的功率谱密度矩阵为正定的Hermite矩阵。设A=[a_ij] ∈R^n×n，可将其通过Cholesky分解为一个下三角矩阵及其转置的乘积^[12]，即

$\mathit{\boldsymbol{A}} = \mathit{\boldsymbol{U}}{\mathit{\boldsymbol{U}}^{\rm{T}}}$

(5)

式中：U是下三角矩阵，其对角线元素为正。即

$\mathit{\boldsymbol{U}} = \left[{\begin{array}{*{20}{c}}{{u_{11}}}&{}&{}&0\\{{u_{21}}}&{{u_{22}}}&{}&{}\\ \vdots & \vdots & \ddots &{}\\{{u_{n1}}}&{{u_{n2}}}& \cdots &{{u_{nn}}}\end{array}} \right]$

(6)

比较式(5)与式(6)，得

${a_{ij}} = \sum\limits_{k = 1}^j {{u_{jk}}{u_{ik}}} $

(7)

有

${u_{jj}}{u_{ij}} = {a_{ij}}-\sum\limits_{k = 1}^{j-1} {{u_{jk}}{u_{ik}}} = v\left( i \right)$

(8)

令式(8)中i=j，则有u_jj²=v(j)，从而由式(8)得

${u_{ij}} = u\left( i \right)/{g_{jj}} = v\left( i \right)/\sqrt {v\left( j \right)} $

(9)

2.2 多路信号CD白噪声滤波法

由式(3)可知，MIMO系统的激励与响应关系可在频域内用功率谱密度矩阵表示，其连接纽带是系统的频域传递特性。相反地，若将若干路独立的白噪声信号作为激励，通过设计频响传递特性相关参数，可得能够满足要求的具有相关特性的随机信号，即驱动谱S_D(f)可以通过对白噪声信号进行线性变换求得。根据矩阵的Cholesky分解，将分解的下三角矩阵对角元均置为1，可得

${\mathit{\boldsymbol{S}}_{\rm{D}}}\left( f \right) = \mathit{\boldsymbol{U}}\left( f \right){\mathit{\boldsymbol{S}}_{\rm{W}}}\left( f \right){\mathit{\boldsymbol{U}}^{\rm{T}}}\left( f \right)$

(10)

式中：S_W(f)为白噪声信号的功率谱密度矩阵，是对角阵，U(f)是设计的频响模型，其元素为

$\begin{array}{l}{S_{W, kk}} = \left[{{S_{{\rm{D}}, kk}}-\sum\limits_{i = 1}^{k-1} {{u_{ki}}{S_{{\rm{W, }}ii}}} u_{ki}^*} \right]\;\;\;\;k = 1, 2, \cdots, n\\\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;{u_{kk}} = 1\;\;\;\;k = 1, 2, \cdots, n\\{u_{ik}} = \frac{{\left[{S_{{\rm{D, }}kk}^*-\sum\limits_{i = 1}^{k-1} {{u_{ki}}{S_{{\rm{W, }}ii}}u_{ji}^*} } \right]}}{{{S_{{\rm{W, }}kk}}}}\;\;\;\;j = k + 1, \cdots, n\end{array}$

(11)

式中S_{W, kk}为第k路白噪声的功率谱密度。

3 仿真算例

以两输入两输出悬臂梁为研究对象，预先设置控制点的参考谱值。设定功率谱的自谱、相干系数与相位差，如图 2所示。

按照工程经验及相关规范标准，信号的分析频带设定为20~2 000 Hz。自谱1与自谱2相同，在低量级的宽带随机信号上叠加4个窄带随机信号，宽带信号功率谱密度值为0.001 g²/Hz，窄带随机信号中心频率为51n Hz，n=1, 2, 3, 4，中心带宽为中心频率的5%。相干系数在分析频带内对数坐标下从0.1线性变化到0.9，相位差为60°。

利用有限元法建立悬臂梁模型，得到梁的频响函数矩阵。根据式(4)可得到理论驱动信号的功率谱密度矩阵。采用传统的时频转换方法，即先将功率谱密度矩阵转换为驱动频谱，再通过傅里叶逆变换得到单帧信号，继而采用时域随机化方法得到“真实”的驱动信号。再利用本文提出的CD白噪声滤波法求得驱动谱，与理论求得的参考谱和传统法进行比较，如图 3~6所示。图中黑色线条是参考值，蓝色线条传统方法得到的驱动谱，红色线条表示的是应用本文CD法获得的驱动谱。

从图 3与图 4可知在驱动自谱生成中，CD滤波法要比传统方法精度高很多，尤其是在高频区域，CD滤波法得到的驱动谱与理论驱动谱一致性较高。从图 5与图 6可以看出, 与传统方法相比，新方法在低频区域相干系数与相位相对精确，而在高频区域误差较大，但总体而言其精度控制要优于传统方法。进一步分析传统方法与CD法生成的驱动信号与参考值之间的误差，结果如图 7所示。

从图中可以看出，在200Hz以下的低频区域，传统方法与CD法的误差均较大，其中驱动谱在55，95和145Hz处的误差分别达到28.34，15.16和8.65dB，这说明低频域控制难度大，效果差。但在200Hz以上与参考值相比，CD法比传统法明显有更高的控制精度：传统方法的误差最大达到5dB，而CD法的误差控制在1.04dB以内。这种控制精度在工程中已经足够应用，更具有理论意义。

4 试验验证

为进一步验证由CD法生成的随机信号在MIMO试验系统中的应用，需在多轴试验台上开展试验验证，如图 8所示。多轴振动试验台不同方向的解耦分为机械解耦与算法解耦，控制目标为互相垂直的两个方向(记为X向和Y向)上宽带随机与窄带随机混合的复杂振动。两个方向的自谱与仿真算例中的自谱一致，相位差为-π/3，相干系数在对数范围内从0.3线性变换至0.6。

试验由MATLAB内嵌程序生成两路独立的白噪声，在测量获取系统频响函数的基础上利用CD法得到驱动信号。将信号通过数采设备发送至振动台，振动台面上布置两个PCB 333B2型加速度传感器以拾取加速度信号。试验中采取随机振动的雅克比控制算法^[13]，该算法可针对MIMO系统中相位与相干系数提高控制精度，控制结果如图 9所示。

从结果来看，系统中4个独立元素(两个自谱、相位差以及相干系数)均有良好的控制精度。自谱能控制在±3 dB范围内，X轴振动加速度总均方根值误差为2.6%，Y轴振动加速度总均方根值误差为1.8%。相位差与相干系数的控制精度均能满足工程需求。

5 结论

(1) 具有相关特性的多路随机信号在MIMO线性随机振动控制试验中起着重要的作用，本文借鉴于多维线性振动理论中激励与响应在频域中的关系，通过Cholesky分解方法构造“频响特性”模型，对若干路独立的白噪声进行滤波得到满足一定要求的随机信号。

(2) 仿真与试验结果表明, 本文CD白噪声滤波法比传统方法具有更高的自谱生成精度，对于自谱的生成，两种方法在200 Hz以下的频带内误差均较大，而在200 Hz以上的中高频CD法的精度更高，与参考值的误差基本不到1 dB。在相干系数与相位差两个因素中，低频精度较高，中高频误差较大，但总体精度足可满足工程实际需求。

(3) 工程中系统往往是非线性的，信号生成机理及相互耦合关系更为复杂。本文方法以线性振动理论为基础，并未涉及非线性相关问题。在后续的研究中，应逐步考虑非线性因素的影响，形成更为完整的多点随机信号生成方法体系。