面齿轮传动是圆柱齿轮与圆锥齿轮相啮合的一种齿轮传动，当两齿轮的轴向夹角为90°时，圆锥齿轮的轮齿分布在一个圆平面内，故将此圆锥齿轮称为面齿轮。面齿轮传动的功能与锥齿轮传动类似，但相对锥齿轮传动具有一些独特的优点^[1-8]，符合航空动力传动中高速、重载和减振的要求，成为当前齿轮传动的研究热点。目前，面齿轮传动主要应用于直升机传动系统，在高速重载的直升机主减速器中，面齿轮轮齿将发生扭转变形、弯曲变形、热变形等，影响齿面的载荷分布、降低轮齿的承载能力、增大系统的振动和噪声，并可能导致边缘接触等现象发生^[9-12]。为改善面齿轮传动的啮合性能，通常采用修形的方法，魏冰阳等研究了面齿轮副中的圆柱齿轮双鼓修形对面齿轮传动的啮合特性的影修形能降低接触路径对安装误差的敏感性^[13]；赵宁等分析了直齿面齿轮修形对承载接触特性的影响，结果表明修形能提高面齿轮传动的有效重合度,还能避免边缘接触 、改善齿面载荷分布与承载传动误差、 提高传动的稳定性^[14]。本文的修形方法是首先对齿条刀具进行抛物线修形，用修形的齿条刀具范成加工圆柱齿轮和刀具齿轮，得到齿廓修形的圆柱齿轮和刀具齿轮，然后用齿廓修形的刀具齿轮包络得到齿廓修形的面齿轮。本文主要研究面齿轮传动系统中圆柱齿轮和面齿轮的齿廓修形方法，推导齿廓修形的面齿轮和圆柱齿轮的齿面方程，分析齿廓修形参数对面齿轮传动系统动态特性的影响,为面齿轮传动的修形设计提供理论参考。

1 圆柱齿轮齿面方程

齿廓修形的圆柱齿轮和刀具齿轮齿廓曲面是由抛物线修形的齿条刀具包络加工得到。标准齿条刀具齿廓A₀是直线，在图 1中用实线表示，抛物线修形的齿条刀具齿廓A_s如图 1中虚线所示。图 1中包含两个坐标系，分别为齿条刀具坐标系O_t-X_tY_tZ_t和抛物线修形的齿廓曲面坐标系O_p-X_pY_pZ_p，修形抛物线系数a_p，在齿条刀具的节线位置修形量最大。

抛物线修形的齿条刀具齿廓曲面在坐标系O_p-X_pY_pZ_p中的齿面方程为

${{r}_{p}}=\left\{ \begin{matrix} {{x}_{p}}={{u}_{p}} \\ {{y}_{p}}={{a}_{p}}\cdot {{u}^{2}}_{p} \\ {{z}_{p}}={{l}_{p}} \\ \end{matrix} \right.$

(1)

式中：u_p为抛物线齿廓上任一点到Y_p轴的距离；l_p为齿条刀具齿宽。

通过齐次坐标转换到刀具齿条坐标系O_t-X_tY_tZ_t的刀具齿条方程为

${{r}_{t}}=[{{M}_{tp}}]\cdot \text{ }{{r}_{p}}$

(2)

式中：[M_tp]为由坐标系O_p-X_pY_pZ_p到坐标系O _t-X_tY_tZ_t的齐次坐标转换矩阵，其表达式为

$\begin{align} & [{{M}_{tp}}]= \\ & \left| \begin{matrix} sin\alpha & -cos\alpha & 0 & -\frac{\pi m}{4}+{{a}_{p}}\cdot {{\left( \frac{m}{cos\alpha } \right)}^{2}}~\cdot cos\alpha \\ cos\alpha & sin\alpha & 0 & -{{a}_{p}}\cdot {{\left( \frac{m}{cos~\alpha } \right)}^{2}}\cdot sin\alpha \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right| \\ \end{align}$

其中：m为齿条刀具的模数；α为齿条刀具的压力角。

齿条刀具包络加工圆柱齿轮或刀具齿轮的坐标系如图 2所示，包络加工过程中包含3个坐标系，分别为圆柱齿轮或刀具齿轮的固定坐标系O_s-X_sY_sZ_s，圆柱齿轮或刀具齿轮的随动坐标系O_m-X_mY_mZ_m，齿条刀具坐标系O_t-X_tY_tZ_t。包络加工过程中，圆柱齿轮或刀具齿轮转过角度φ_m时，齿条刀具移动距离φ_mr_m，r_m为圆柱齿轮或刀具齿轮的分度圆直径。

圆柱齿轮或刀具齿轮的齿廓曲面由抛物线修形的齿条刀具齿面包络加工得到，其齿面方程为

$\left\{ \begin{matrix} {{r}_{i}}({{l}_{p}},{{u}_{p}},{{\varphi }_{m}})=[{{M}_{st}}]\cdot {{r}_{t}} \\ f({{l}_{p}},{{u}_{p}},{{\varphi }_{m}})=0 \\ \end{matrix} \right.$

(3)

式中：[M_st]为坐标系O_t-X_tY_tZ_t到坐标系O_m-X_mY_mZ_m的齐次坐标转换矩阵。

2 齿廓修形的面齿轮齿面方程

齿廓修形的面齿轮齿廓曲面由齿廓修形的刀具齿轮包络加工得到，刀具齿轮的齿面是包络过程的母面，包络加工坐标系如图 3所示。图 3中O_s-X_sY_sZ_s为刀具齿面的固定坐标系；O_m-X_mY_mZ_m为刀具齿面的随动坐标系；O_f0-X_f0Y_f0Z_f0为面齿轮的固定坐标系；O_f-X_fY_fZ_f为面齿轮的随动坐标系；r_m为刀具齿轮的分度圆半径；φ_m和φ_f分别为包络加工过程中刀具和面齿轮的转角；d为坐标平面O_s-X_sY_sZ_s和O_f0-Y_f0Z_f0的距随刀具齿轮的运动而变化。根据图 3中的坐标关系，得齿廓修形的面齿轮齿面方程为

$\left\{ \begin{matrix} {{r}_{fm}}=[{{M}_{fm}}]\text{ }\cdot {{r}_{i}} \\ \frac{\partial {{r}_{fm}}}{\partial {{\alpha }_{k}}}\times \frac{~\partial {{r}_{fm}}}{\partial {{u}_{k}}}\cdot \frac{\partial {{r}_{fm}}}{\partial {{\varphi }_{m}}}=0 \\ \end{matrix} \right.~$

(4)

式中：[M_fm]为刀具齿轮坐标系O_m-X_mY_mZ_m到面齿轮坐标系O_f-X_fY_fZ_f的齐次坐标转换矩阵；r_fm为坐标系O_f-X_fY_fZ_f中的刀具齿面方程。

3 面齿轮传动系统动力学模型

根据面齿轮传动的啮合原理，传动系统中圆柱齿轮无轴向力作用，面齿轮无径向力作用，比锥齿轮传动的振动自由度明显减少。基于集中参数理论建立的齿廓修形面齿轮传动系统的动力学模型如图 4所示。图 4中，c_s为面齿轮传动系统的啮合阻尼；k_s为面齿轮传动系统的啮合刚度；b为传动过程中的齿侧间隙；e₀为系统的综合传动误差；k_f和k₁分别为面齿轮和圆柱齿轮的支撑刚度；c_f和c₁分别为面齿轮和圆柱齿轮的支撑阻尼。设主动圆柱齿轮的输入扭矩为T₁，从动面齿轮所受扭矩为T_f。根据图 4所示的啮合关系，面齿轮传动系统共包含6个自由度，分别为圆柱齿轮沿x和z方向的振动位移x₁和z₁，面齿轮x和z方向的振动位移x_f和z_f，2个齿轮绕各自轴线的扭转振动θ₁和θ_f。

齿廓修形的面齿轮传动中，在载荷作用下啮合接触位置将沿啮合线方向产生弯曲变形，而面齿轮传动系统的重合度不是整数，轮齿的啮合刚度呈周期性变化，因此轮齿啮合线方向的弯曲变形量也呈周期性变化，综合考虑相对误差、修形等因素，啮合点沿啮合线方向的相对振动位移x_n为

$\begin{align} & {{x}_{n}}=\left( {{r}_{1}}{{\theta }_{1}}-{{r}_{f}}{{\theta }_{f}}+{{z}_{1}}-{{z}_{f}} \right)cos\alpha + \\ & ({{x}_{1}}-{{x}_{f}})sin\alpha \text{ }-{{e}_{n}}(t) \\ \end{align}$

(5)

式中：α为齿轮副的啮合角；r₁和r_f分别为啮合点到各齿轮轴线的距离；e_n(t)为齿轮副的法向静态传递相对误差，包括修形量、基节偏差、齿距偏差、齿形相对误差和齿距累计相对误差等，参考文献^[10]的方法，将其表示为啮合频率的简谐函数

$~{{e}_{n}}\left( t \right)={{e}_{0}}+{{A}_{e}}sin({{\omega }_{0}}t+{{\varphi }_{e}})$

(6)

式中：e₀为面齿轮传动系统的齿轮副综合传动相对误差，与齿廓修形参数有关的常量；A_e为与齿廓修形参数有关的传动相对误差幅值；ω₀为齿轮副的啮合角频率，与系统的转速有关；φ_e为初相位。

面齿轮传动系统中沿啮合线方向的载荷F_n与沿各坐标轴方向的载荷分别为

$\left\{ \begin{matrix} {{F}_{n}}=k\text{ }\left( t \right)f({{x}_{n}})+{{c}_{s}}{{{\dot{x}}}_{n}} \\ {{F}_{1x}}=-{{F}_{fx}}={{F}_{n}}cos\alpha \\ {{F}_{1z}}=-{{F}_{fz}}={{F}_{n}}sin\alpha \\ \end{matrix} \right.$

(7)

式中：k(t)为系统的时变啮合刚度；f(x_n)为齿侧间隙函数。

时变啮合刚度k(t)按照石川法分别计算出圆柱齿轮和面齿轮单齿啮合刚度，然后根据齿轮副的重合度和转速，将齿轮副综合啮合刚度简化成与啮合频率有关的矩形波周期函数，最后根据傅里叶展开并略去高阶项，得

$~~k\left( t \right)={{k}_{m}}+\sum\limits_{l=1}^{{{N}_{k}}}{{{A}_{l}}cos(l{{\omega }_{0}}t+{{\varphi }_{k}})}$

(8)

式中：k_m为平均啮合刚度，含与圆柱齿轮和面齿轮的修形参数有关的修正参数；A_l为时变啮合刚度l阶谐波幅值；N_k表示傅里叶的第k项展开式；φ_k为初相位。

面齿轮副啮合刚度的周期性变化是面齿轮传动系统动态激励的主要形式。齿廓修形也将对齿轮啮合刚度产生较大的影响，本文通过CATIA软件建立不同修形量的面齿轮副模型，利用有限元分析软件求得包含修形量的轮齿综合啮合刚度，如图 5所示，图中实线是通过式(8)得到的啮合刚度，虚线为有限元分析的结果，两个结果较接近，尤其平均啮合刚度近似相等 。

齿侧间隙函数f(x_n)的表达式为

$f({{x}_{n}})=\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{x}_{n}}-{{b}_{m}} & {{x}_{n}}>{{b}_{m}} \\ 0 & |{{x}_{n}}|\le {{b}_{m}} \\ {{x}_{n}}+{{b}_{m}} & {{x}_{n}}{{b}_{m}} \\ \end{array} \right.$

(9)

式中b_m为法向平均齿侧间隙b的一半。

图 4所示的齿廓修形的面齿轮传动系统振动微分方程为

$\left\{ \begin{array}{*{35}{l}} {{m}_{1}}{{{\ddot{x}}}_{1}}+{{c}_{1x}}{{{\dot{x}}}_{1}}+{{k}_{1x}}{{x}_{1}}={{F}_{1x}} \\ {{m}_{1}}{{{\ddot{z}}}_{1}}+{{c}_{1z}}{{{\dot{z}}}_{1}}+{{k}_{1z}}{{z}_{1}}={{F}_{1z}} \\ {{I}_{1}}{{{\ddot{\theta }}}_{1}}=-{{T}_{~}}1+{{F}_{n}}{{r}_{1}} \\ {{m}_{f}}{{{\ddot{x}}}_{f}}+{{c}_{fx}}{{{\dot{x}}}_{f}}+{{k}_{fx}}{{x}_{f}}={{F}_{fx}} \\ {{m}_{f}}{{{\ddot{z}}}_{f}}+{{c}_{fz}}{{{\dot{z}}}_{f}}+{{k}_{fz}}{{z}_{f}}={{F}_{fz}} \\ {{I}_{f}}{{{\ddot{\theta }}}_{f}}=-{{T}_{f}}+{{F}_{n}}{{r}_{f}} \\ \end{array} \right.$

(10)

式中：m₁和m_f分别为圆柱齿轮和面齿轮的集中质量；I₁和I_f分别为圆柱齿轮和面齿轮的集中转动惯量；x₁与x_f分别为圆柱齿轮和面齿轮沿x方向的振动位移；z₁和z_f分别圆柱齿轮和面齿轮沿z轴方向的振动位移；θ₁和θ_f为圆柱齿轮和面齿轮绕各自轴线的扭转振动角度；c_1x和c_1f为系统的支撑阻尼；k_1x和k_1f为系统的支撑刚度。

4 系统的动态特性分析

采用自适应步长的Runge-Kutta数值积分法，对系统的非线性微分方程(10)求解，得到量纲一表示的系统动态响应。

当齿条刀具抛物线修形系数a_p=0时，面齿轮传动系统的动态响应呈现4倍周期谐波响应，如图 6所示。由图 6可见，系统响应的时间-位移呈4倍周期响应(图 6(a))；平面相图为一闭合的非圆且非椭圆曲线(图 6(b))；Poincare截面为4个离散的点(图 6(c))。

当齿条刀具抛物线修形系数a_p=0.01时，系统为简谐振动响应，如图 7所示。 由图 7可见，时间-位移响应为单周期简谐波(图 7(a))；平面相图为闭合的非圆且非椭圆曲线(图 7(b))；Poincare截面为1个离散的点(图 7(c))。

当齿条刀具抛物线修形的抛物线系数a_p=0.015时，面齿轮传动系统的动态响应呈现3倍周期谐波响应，如图 8所示。由图 8可见，系统响应的时间-位移呈3倍周期响应(图 8(a))；平面相图为一闭合的非圆且非椭圆曲线(图 8(b))；Ponicare截面为3个离散的点(图 8(c))。

图 9为当齿条刀具抛物线修形系数a_p=0.022时的系统动态响应图。由图 9可见，时间-位移为非周期、无规则的振动曲线(图 9(a))；系统的平面相图由一系列相互缠绕和交叉，但不重复且不封闭的曲线构成(图 9(b))；Ponicare截面为一系列不重合的离散点组成，这些离散点分布在一定的区域内(图 9(c))。

5 结 论

(1) 分析了圆柱齿轮和面齿轮的齿廓修形方法，用包络法推导了齿廓修形的圆柱齿轮和面齿轮齿面方程。

(2) 采用集中质量法建立了齿廓修形的面齿轮传动系统动力学模型，模型中考虑修形参数、啮合阻尼、啮合刚度、支撑阻尼、支撑刚度、齿侧间隙和综合误差等因素，应用Runge-Kutta数值积分法求解系统的非线性振动微分方程，得到系统的动态响应特性。

(3) 通过分析修形参数对系统动态特性的影响，确定在特定工况下合理的修形参数，使得面齿轮传动系统的振动特性处于周期响应状态，从而达到减小振动、降低噪声的目的。